הצגת המקור של הדף "מודל הקשירה ההדוקה"

{{עריכה|ויקיזציה, בחירת צד קבוע לנוסחאות, ימין או שמאל, הוספת קישורים פנימיים, הוספת קטגוריות|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן}}
'''מודל הקשירה ההדוקה''' (ב[[אנגלית]]: '''Tight Binding Method''') הוא מודל ב[[פיזיקה של מצב מוצק|פיזיקת המצב המוצק]] המתאר את פסי ה[[אנרגיה]] של [[אלקטרון|אלקטרונים]] ב[[מתכת]] על ידי שימוש בקירוב של [[פונקציית גל|פונקציות הגל]] שמתבסס על [[סופרפוזיציה קוונטית|סופרפוזיציה]] של פונקציית הגל של [[אטום|אטומים]] מבודדים הממוקמים בסריג. השימוש במודל זה נפוץ עבור מגוון של [[מוצק|מוצקים]]. על אף היותו מודל המתאר אלקטרון יחיד, המודל משמש כבסיס עבור חישובים מתקדמים יותר כגון [[בעיות רב גופיות]] וחישוב קוואזי-חלקיקים.

== הקדמה ==
מודל הקשירה ההדוקה הוא מודל ב[[מכניקת הקוונטים]] שמתאר את תכונותיהם של אלקטרונים הכבולים בחוזקה אל האטומים שאליהם הם שייכים בחומר מוצק. השפעתם של [[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאלים]] ומצבים אחרים בסביבת האלקטרון - זניחה. כתוצאה מכך פונקציית הגל של האלקטרון תהיה דומה למדי ל[[אורביטל אטומי|אורביטל האטומי]] של האטום אליו הוא שייך והאנרגיה של האלקטרון תהיה קרובה ל[[יינון|אנרגיית היינון]] של האלקטרון מאטום בודד.

באופן כללי יש מספר [[רמות אנרגיה]] המעורבות במודל.

==פיתוח מתמטי==
יהיו <math>\varphi_m(\mathbf r)</math> פונקציות הגל של האורביטלים האטומיים של ה[[המילטוניאן]] <math>H_{atom}</math> המתאר אטום מבודד. כאשר האטום ממוקם ב[[גביש]], פונקציית הגל של מיקומי אטומים סמוכים חופפות חלקית זו לזו, ולכן תיאור זה אינו התיאור של הפונקציות העצמיות של המערכת כולה. החפיפה קטנה יותר כאשר האלקטרונים קשורים בחוזקה אל האטומים, וזהו מקור הביטוי "קשירה הדוקה". כדי לקבל את התיאור הנכון עבור המערכת כולה נוסיף איבר פוטנציאל <math>\Delta U</math> להמילטוניאן של המערכת שמבטא את התיקונים לפוטנציאל של אטום יחיד לעומת הפוטנציאל בגביש.

<math>H(r)=\sum_{R_n}H_{atom}(r-R_n)+\Delta U(r)</math>

קירוב לפונקציית הגל <math>\psi_r</math> של אלקטרון יחיד המתואר על ידי המילטוניאן זה נתון כצירוף ליניארי של פונקציות הגל המתארות את האורביטלים האטומיים <math>\varphi_m(r-R_n)</math>:

<math>\psi(r)=\sum_{m,R_n}b_m(R_n)\varphi_m(r-R_n)</math>.

כאשר m היא רמת האנרגיה האטומית ו <math>R_n</math> מיקום האטום בסריג.

פונקציות הגל הן [[משפט בלוך| פונקציות בלוך]] בסריג, ולכן הן מהצורה
:<math>\psi(\boldsymbol{r+R_{\ell}}) = e^{i\boldsymbol{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\boldsymbol{r}) </math>,
כלומר, השינוי בפונקציית הגל הוא בפאזה בלבד. <math>\mathbf{k}</math> הוא [[וקטור גל|וקטור הגל]] של הפונקציה.
כתוצאה מכך, הפרישה של פונקציית הגל על ידי האורביטלים האטומיים מקיימת,

<math>\sum_{m,\boldsymbol{R_n}} b_m (\boldsymbol{R_n}) \ \varphi_m (\boldsymbol{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\boldsymbol{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{m,\boldsymbol{R_n}} b_m (\boldsymbol{R_n}) \ \varphi_m (\boldsymbol{r-R_n})</math>

נציב

<math>\boldsymbol{R_p}= \boldsymbol{R_n} - \boldsymbol{R_\ell}</math> ,

ונקבל

<math>b_m (\boldsymbol{R_p+R_{\ell}}) = e^{i\boldsymbol{k \cdot R_{\ell}}}b_m (\boldsymbol{R_p}) </math>

או

<math> b_m (\boldsymbol{R_l}) = e^{i\boldsymbol{k \cdot R_{l}}} b_m (\boldsymbol{0}) </math>

מתכונת הנרמול של פונקציית הגל
:<math> \int d^3 r \ \psi^* (\boldsymbol{r}) \psi (\boldsymbol{r}) = 1 </math>
נובע:

:<math>\int d^3 r \ \psi^* (\boldsymbol{r}) \psi (\boldsymbol{r})= \sum_{\boldsymbol{R_n}} b^* (\boldsymbol{R_n})\sum_{\boldsymbol{R_{\ell}}} b (\boldsymbol{R_{\ell}})\int d^3 r \ \varphi^* (\boldsymbol{r-R_n}) \varphi (\boldsymbol{r-R_{\ell}})</math>

:<math>= b^*(0)b(0)\sum_{\boldsymbol{R_n}} e^{-i \boldsymbol{k \cdot R_n}}\sum_{\boldsymbol{R_{\ell}}} e^ {i \boldsymbol{k \cdot R_{\ell}}}\ \int d^3 r \ \varphi^* (\boldsymbol{r-R_n}) \varphi (\boldsymbol{r-R_{\ell}})</math>

<math>=N b^*(0)b(0)\sum_{\boldsymbol{R_p}} e^{-i \boldsymbol{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi^* (\boldsymbol{r-R_p}) \varphi (\boldsymbol{r})\ </math>

:<math>=N b^*(0)b(0)\sum_{\boldsymbol{R_p}} e^{i \boldsymbol{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi^* (\boldsymbol{r}) \varphi (\boldsymbol{r-R_p})\ =1 </math>

נקבל ביטוי עבור <math>b(0)</math>:

:<math> b^*(0)b(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\boldsymbol{R_p \neq 0}} e^{-i \boldsymbol{k \cdot R_p}} \alpha (\boldsymbol{R_p})} </math>

כאשר α ('''''R'''''<sub>p</sub>) היא פונקציית החפיפה האטומית. נהוג להזניח איבר זה ולהניח α ('''''R'''''<sub>p</sub>) =1
במקרה כזה:

:<math> b_n (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \, </math>

ולכן פונקציית הגל בקירוב הקשירה ההדוקה היא מהצורה
::<math>\psi (\boldsymbol{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{m,\boldsymbol{R_n}} e^{i \boldsymbol{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\boldsymbol{r-R_n}) \ .</math>

== ראו גם ==
* [[מבנה פסים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:פיזיקה של מצב מוצק]]
[[קטגוריה:מבנה פסים]]