הצגת המקור של הדף "מודל הרוכסן לשכפול DNA"

'''מודל הרוכסן''' הוא מודל תרמודינמי משמש קירוב פשטני של סליל [[DNA]] במהלך שכפול<ref>{{צ-מאמר|מחבר=J. H. Gibbs and E. A. Dimarzio|שם=Statistical Mechanics of Helix‐Coil Transitions in Biological Macromolecules|כתב עת=The Journal of Chemical Physics|שנת הוצאה=1959|כרך=30|עמ=271}}</ref>. המודל מקרב את ה-DNA למולקולה חד־ממדית שמבצעת [[מעבר פאזה]], שמתוארת על ידי [[רוכסן]] שיכול להיפתח ולהיסגר. הפיתוח המלא ודיון בו פורסמו לראשונה על ידי [[צ'ארלס קיטל]] ב-1969<ref>{{צ-מאמר|מחבר=C. Kittel|שם=Phase Transition of a Molecular Zipper|כתב עת=American Journal of Physics|כרך=37|עמ=917|שנת הוצאה=1969}}</ref>.
[[קובץ:הקבלת DNA לרוכסן.png|ממוזער|330x330 פיקסלים|ההקבלה בין מערכת מולקולת הרוכסן לבין שכפול ה-DNA. מימין נראה מזלג השכפול של ה-DNA ומשמאל נראה רוכסן באזור הפתיחה שלו.]]
הדמיון בין המערכות נובע מהמכניזם של תהליך פתיחת ה-DNA לצורך שכפולו, ובייחוד תהליך האתחול. תהליך האתחול מתרחש מסביב ל[[מקור השכפול]] (Origin of Replication), שהוא אזור מסוים ב[[כרומוזום]] שבו מתחיל שכפול ה-DNA.

בהמשך התהליך נקשרים מספר חלבונים למקור השכפול וגורמים לו להיפתח בצורה חלקית (הפתיחה נעשית באמצעות הפרדת זוגות ה[[נוקלאוטיד|נוקלאוטידים]] שמקשרים בין הגדילים). כך נוצרת בועת השכפול (Replication Bubble), שבשני הצדדים שלה נוצרים [[מזלג השכפול|מזלגות השכפול]] (אזורי המעבר בין החלק הפתוח של ה-DNA לזה הסגור, נקראים כך משום צורתם), אחד בכל צד. המשך הפתיחה מבוצע על ידי ה-[[הליקאז|DNA הליקאז]], אנזים שאחראי על הפרדת שני הגדילים. 

המזלגות הנוצרים במהלך הפתיחה דומים לאזור הפתיחה של רוכסן: ה-DNA שעוד לא נפתח מקביל לחלק ברוכסן שבו השיניים סגורות ומשולבות, החלק הפתוח של ה-DNA מקביל לשני הקצוות הפתוחים של הרוכסן והחוליות מקבילות לנוקלאוטידים.

== פיתוח תרמודינמי ==
[[קובץ:Zipper model.png|ממוזער|470x470 פיקסלים|הסבר על מערכת הרוכסן:1) זוג חוליות סגורות

2) הקצה הסגור של הרוכסן

3) חוליות פתוחות]]
מערכת הרוכסן היא [[מולקולה]] חד־ממדית בעלת <math display="inline">N</math> זוגות של חוליות. כל זוג יכול להיות באחד משני מצבים: סגור או פתוח. נניח כי הרוכסן יכול להיפתח רק מכיוון אחד.  

נגדיר את מספר החוליות הפתוחות, <math>p</math>. כדי להבחין בין קצות הרוכסן, נניח כי החוליה <math>p=N</math> לא יכולה להיפתח ולכן נאמר כי הרוכסן פתוח כאשר <math>p=N-1</math>. בנוסף נניח כי למצב הפתוח של חוליה יש [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]] <math>G</math> שנובע מ[[דרגות חופש (פיזיקה וכימיה)|דרגות החופש]] [[רוטציה של מולקולה|הרוטציוניות]] שלה<ref>{{קישור כללי|כתובת=http://x3dna.org/articles/seeing-is-understanding-as-well-as-believing|הכותב=|כותרת=Seeing is understanding as well as believing|אתר=3dna|מידע נוסף=תמונות שמסבירות את דרגות החופש הרוטציוניות של ה-DNA|תאריך=}}</ref>.    

=== פונקציית החלוקה ===
נניח כי אם <math>p</math> החוליות הראשונות פתוחות, ה[[אנרגיה]] הדרושה לפתוח את החוליה ה- <math>p+1</math> היא <math>\epsilon</math>. אחרת, לפחות חלק מ- <math>p</math> החוליות הראשונות סגורות ואז האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה- <math>p+1</math> היא אינסופית.

האנרגיה הדרושה עבור פתיחת <math>p</math> החוליות הראשונות היא <math>p\epsilon</math> והניוון של <math>p</math> החוליות הוא <math>G^p</math>. התרומה של מצב זה ל[[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] היא: <div style="text-align: center;">
<math>G^p\exp\left(-\frac{p\epsilon}{\tau}\right)</math>
</div>

כאשר <math>\tau\equiv k_BT</math>, <math>T</math> ה[[טמפרטורה]] ו- <math>k_B</math> [[קבוע בולצמן]].
[[קובץ:פולימר דמוי DNA.png|ממוזער|389x389 פיקסלים|גרף של צפיפות אופטית של פולימר דמוי-dG:dC, DNA, כפונקציה של הטמפרטורה. בטמפרטורה נמוכה המערכת היא סליל כפול, בטמפרטורה גבוהה הסליל הכפול נפרד לשניים. הצפיפות האופטית היא כלי למדידת מצב המערכת.]]


מכך מתקבלת פונקציית החלוקה, כאשר נסכום על מספר החוליות הפתוחות כדי לקבל תרומות מכל המצבים:<div style="text-align: center;">

<math>Z=\sum_{p=1}^{N-1}G^p\exp\left(-\frac{p\epsilon}{\tau}\right)</math></div>ועל ידי שימוש ב[[טור הנדסי|טור הגאומטרי]] והגדרת משתנה חסר יחידות <math>x\equiv G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)</math> נקבל<div style="text-align: center;">

<math>Z=\frac{1-G^N\exp\left(-\frac{N\epsilon}{\tau}\right)}{1-G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)}\equiv\frac{1-x^N}{1-x}</math>
</div>

=== מספר החוליות הפתוחות ===
את מספר החוליות הפתוחות הממוצע עבור טמפרטורה <math>\tau</math> מקבלים על ידי [[ממוצע משוקלל|מיצוע תרמודינמי]]. הממוצע של פונקציה תרמודינמית <math>O</math> הוא 

<math><O>=\frac{\sum_io_iz_i}{\sum_i{z_i}}</math> 

כאשר <math>z_i</math> ההסתברות למצב ה-<math>i</math>.

לכן מספר החוליות הפתוחות הממוצע יהיה:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{\sum_{p=i}^{N-1}{px^p}}{\sum_{p=i}^{N-1}x^p}=x\left({d \over dx}\ln Z\right)=\frac{Nx^N}{x^N-1}-\frac{x}{x-1}</math>
</div>

=== אנטרופיה ===
ה[[אנטרופיה]] <math>S </math> מחושבת על ידי:

<math>\frac{S}{k_B}\equiv \sigma=-\left(\frac{\partial F}{\partial \tau}\right)_{V,N}</math>

כאשר <math>F=-\tau\ln Z</math>, ה[[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|אנרגיה החופשית של הלמהולץ]]. לכן האנטרופיה של המערכת:<div style="text-align: center;">

<math>\sigma=\tau\frac{\partial}{\partial \tau}\ln Z+\ln Z=x\ln\left(\frac{G}{x}\right)\left(\frac{d}{dx}\ln Z \right)+\ln Z </math>
</div>
נזהה את <math><n>=x\left({d \over dx}\ln Z\right)</math> ונקבל<div style="text-align: center;">

<math>\sigma=<n>\ln \left(\frac{G}{x}\right)+\ln \left(\frac{1-x^N}{1-x}\right)</math>
</div>

== מעבר פאזה ==
נשים לב כי אם נשרטט את הגרף של מספר החוליות הפתוחות הממוצע כפונקציה של <math>x</math>, נקבל תופעה מעניינת<ref>J. F. Nagle הראה במאמרו כי האנלוגיה החד־ממדית של מודל "Slater KDP" מבצעת מעבר פאזה מסדר ראשון. פונקציית החלוקה של הרוכסן זהה לזו מהמאמר של Nagle.</ref><ref name=":0" />.
[[קובץ:גרף מספר חוליות פתוחות.png|מרכז|456x456px|טקסט=|ממוזער|מספר החוליות הממוצע כפונקציה של המשתנה חסר היחידות <math>x\equiv G\exp\left(-\frac{\epsilon}{\tau}\right)</math>, עבור רוכסן עם <math>N=1000</math> חוליות.]]אפשר לראות עלייה חדה באזור <math>x\equiv x_c=1</math>. זה אזור שבו כאשר מעלים את הטמפטורה מעט (כשמגדילים את <math>x</math> מגדילים את <math>\tau</math> בלבד כי <math>G</math>,<math>\epsilon</math> קבועים), נפתחות הרבה מאוד חוליות ברוכסן וקצב הפתיחה גדל גם הוא. באזור זה מתרחש מעבר פאזה בין המצב של הרוכסן הסגור לבין המצב של שני קצוות הרוכסן הפתוחים.

=== אזורי <math>x</math> שונים ===

* <math>x=1</math>

כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של <math><n></math> מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור.

מ[[פיתוח טיילור]] לפי <math>x</math> סביב <math>x=1</math> עד סדר ראשון נקבל<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}-\frac{x}{x-1}\approx {1\over2}\left(N-1\right)+{1\over12}\left(N^2-1\right)\left(x-1\right)+\ldots</math>
</div>

כעת נניח כי <math>N\gg1</math> ונחלק ב-<math>N</math>:<div style="text-align: center;">

<math>{<n>\over N} \xrightarrow[N\gg1] {}{1\over2}+{N\over12}\left(x-1\right)+\ldots
</math>
</div>

נגדיר <math>x-1\equiv\xi</math> משום שיהיה נוח בהמשך להתייחס לאזור מעבר הפאזה כ- <math>\xi\ll1</math>. השיפוע באזור זה יהיה<div style="text-align: center;">

<math>{1\over N}{d<n>\over d\xi} \cong {N\over12}+\ldots
</math>
</div>
כלומר סך הכל קיבלנו שעבור <math>N\longrightarrow\infin</math> ו- <math>\xi\ll1</math> השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא <math><n>\cong{1\over2}N</math>.

* <math>x\gg1</math>

עבור <math>x\gg1</math>, נוכל לראות שמתקיים:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{N}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^N}-\frac{x}{x-1}\cong N\left(1+\left(\frac{1}{x}\right)^N\right)-\left(1+y\right)\approx N-\frac{x}{x-1}=\left(N-1\right)-\frac{1}{x-1}=\left(N-1\right)-{1\over \xi}</math>
</div>
כאשר מזניחים את האיבר <math>\left(\frac{1}{x}\right)^N\ll1</math>. כלומר <math><n></math> שואף מלמטה לחסמו העליון <math>N-1</math>.

* <math>x\ll1</math>

עבור <math>x\ll1</math>, נקבל כי האיבר <math>x^N\ll1</math> זניח ולכן:<div style="text-align: center;">

<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}+\frac{x}{1-x}\approx \frac{x}{1-x}</math>
</div>
ללא תלות ב-<math>N</math>.

=== טמפרטורת המעבר ===
ראינו כבר כי המעבר מתקיים בנקודה <math>x_c=1</math>, כלומר הטמפרטורה הקריטית של מעבר הפאזה היא הפתרון למשוואה<div style="text-align: center;">

<math>G\exp\left(-{\epsilon\over\tau_c}\right)=1</math>
</div>
עבור <math>G=1</math>, למשוואה זו יש פתרון רק בטמפרטורה אינסופית. לכן נקבל כי התנאי לקיום מעבר פאזה בטמפרטורה סופית הוא:<div style="text-align: center;">

<math>G=\exp\left({\epsilon\over\tau_c}\right)>1</math>
</div>
והטמפרטורה בה מתקיים מעבר הפאזה, <math>\tau_c</math>, היא:<div style="text-align: center;">

<math>\tau_c={\epsilon\over\ln G}</math>
</div>
תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד־ממדי, משום שניתן לטעון כי הניוון <math>G</math> נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד־ממדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד־ממדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה<ref name=":0">{{צ-מאמר|מחבר=J. F. Nagle|שם=Proof of the First Order Phase Transition
in the Slater KDP Model|כתב עת=American Journal of Physics|שנת הוצאה=1968|כרך=36|עמ=1114}}</ref>. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד־ממדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- '''Structural Unit''') חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד.

ניתן להראות גם כי באזור מעבר הפאזה מתקיים<div style="text-align: center;">

<math>\xi=\ln G\cdot\frac{\tau-\tau_c}{\tau_c}</math>
</div>
=== קיבול החום ===
הגדרת קיבול החום היא <math>C=k_B\tau\left(\frac{d\sigma}{d\tau}\right)</math>. באזור מעבר הפאזה האנטרופיה היא <math>\sigma\approx<n>\cdot\ln \left(\frac{G}{x_c}\right)=<n>\ln G</math>, ולכן קיבול החום באזור זה:<div style="text-align: center;">

<math>C\approx k_B\tau_c\ln G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\tau}\right)\approx k_B\ln^2G\cdot\left(\frac{d<n>}{d\xi}\right)</math>
</div>
ותחת ההנחה <math>N\xi\ll1</math> מתקבל הביטוי<div style="text-align: center;">

<math>C\cong Nk_B\ln^2G\cdot\left({1\over 12}N+\ldots\right)</math>
</div>
כלומר קיבול החום לחוליה שואף לאינסוף כאשר <math>N\longrightarrow\infin</math> וזה מעבר פאזה מסדר ראשון.
=== פתיחת כל החוליות ברוכסן ===
תופעה מעניינת היא קיום של מעבר פאזה כאשר כל החוליות ברוכסן פתוחות, כלומר <math>p=N-1</math>. הסיכוי למצב כזה:<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)={x^{N-1}\over Z}=x^{N-1}\frac{1-x}{1-x^N}</math>
</div>
אנחנו קרובים לנקודת המעבר, לכן <math>\xi\ll1</math> ומתקיים <math>N\xi\ll1</math> ומקבלים:<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)=\xi+{1\over N}\approx{1\over N}</math>
</div>
כלומר רוכסן אחד מכל <math>N</math> יהיה פתוח לגמרי בנקודת מעבר הפאזה. מעל נקודה זו, עבור <math>x^N\gg1</math> הסיכוי לרוכסן פתוח לחלוטין הוא<div style="text-align: center;">

<math>P\left(p=N-1\right)\cong1-{1\over x}</math>
</div>

== ראו גם ==

* [[שכפול DNA]]
* [[ביופיזיקה]]
* [[מעבר פאזה|מעברי פאזה]]

== קישורים חיצוניים ==

* http://x3dna.org/articles/seeing-is-understanding-as-well-as-believing, באתר x3dna.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים של משתמשים חדשים|2020 07]]
[[קטגוריה:DNA]]