הצגת המקור של הדף "מודל חצי המישור של פואנקרה"

{{מקורות|נושא=מדעי הטבע|תאריך=27 בספטמבר 2024}}[[קובץ:Parallel rays in Poincare model of hyperbolic geometry.svg|upright=1.5|left|ממוזער|קרניים מקבילות במודל חצי המישור של פואנקרה.]]
ב[[גאומטריה לא אוקלידית]], '''מודל חצי המישור של פואנקרה''' הוא [[חצי מרחב|חצי המישור העליון]], המסומן בדרך כלל <math>\mathbb{H} = \{ \langle x ,y \rangle \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}</math>, יחד עם ה[[מרחב מטרי|מטריקה]] שמאפיינת אותו, והופכת אותו ל[[מודל מתמטי|מודל]] של [[גאומטריה היפרבולית]] דו-ממדית. באופן שקול, מודל חצי המישור העליון של פואנקרה מתואר לעיתים כ[[המישור המרוכב|מישור מרוכב]] שבו החלק המדומה הוא חיובי.

מודל חצי המישור של פואנקרה נקרא על שם [[אנרי פואנקרה]], אבל המקור שלו הוא בעבודותיו של [[אאוג'ניו בלטרמי]] אשר נעזר בו, יחד עם מודל קליין ו[[מודל הדיסק של פואנקרה]], כדי להוכיח שהגאומטריה ההיפרבולית היא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] [[אם ורק אם]] [[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה האוקלידית]] היא עקבית.

מודל זה הוא [[העתקה קונפורמית|קונפורמי]], מה שאומר שזוויות בין עקומות כפי שהן נמדדות בנקודת החיתוך שלהן הן בדיוק אותן הזוויות כמו במישור ההיפרבולי האמיתי.

[[טרנספורם קיילי]] מספק [[איזומטריה]] בין מודל חצי המישור העליון ומודל הדיסק של פואנקרה.

== מטריקה ==
=== קווים ישרים ===
ה[[מרחב מטרי|מטריקה]] של המודל על חצי המישור העליון, <math>\{ \langle x, y \rangle \mid y > 0 \},</math>, היא:

:<math>(d s)^2 = \frac{(d x)^2 + (d y)^2}{y^2}</math>

כאשר ''s'' מודד את המרחק לאורך הקו (שעשוי להיות עקום). "הקווים הישרים" במישור ההיפרבולי ([[מסילה גאודזית|גאודזות]] עבור המטריקה הזאת, כלומר עקומים שממזערים את המרחק בין שתי נקודות) מיוצגים במודל זה באמצעות קשתות מעגליות שפוגשות את ציר ה-''x'' ב[[זווית ישרה|זוויות ישרות]] (חצי מעגלים שמרכזיהם נחים על ציר ה-''x'') בתוספת הקרניים הישרות המאונכות לציר ה-''x''.

ישנן כמה דרכים שקולות להיווכח בכך שהקו הישר שמחבר בין שתי נקודות ''A'' ו-''B'' בחצי המישור העליון הוא תמיד [[חצי מעגל]] שאורתוגונלי לציר ה-''x'': דרך אחת, שעושה שימוש ב[[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]], היא פשוט לרשום את [[פונקציונל]] האורך של מסילות שמתחילות ב-''A'' ונגמרות ב-''B'' בהתאם למטריקה הנתונה, ואז למצוא את המסלול שממזער את האורך לפי [[משוואות אוילר-לגראנז']].

דרך שנייה, וברורה יותר קונספטואלית, היא לחשוב על "ישר" של חצי המישור העליון בתור ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של נקודה שנעה במהירות קבועה ובכיוון קבוע במישור ההיפרבולי "האמיתי" (לא במודל שמייצג אותו). מכיוון שנקודה נעה כזאת גומעת מרחקים שווים בזמנים שווים, הייצוג של הנקודה במודל חצי המישור העליון (תמונת הנקודה) צריך גם הוא לגמוע מרחקים שווים בזמנים שווים. מכיוון שהמרחקים במודל יחסיים הפוך לקואורדינטה האנכית ''y'', תמונת הנקודה נעה בקצב שיחסי לקואורדינטה האנכית שלה, כך שניתן לחלק את חצי המישור בכללותו לפרוסות שוות-מהירות המקבילות לציר ה-''x''. המעבר הגיאודזי בין נקודה ''A'' לנקודה ''B'' מתקבל אז בקלות מ[[עקרון פרמה|עקרון הזמן המינימלי]] – ניתן לדמות את חצי המישור העליון לתווך אופטי שבו [[מקדם שבירה|מקדם השבירה]] יחסי הפוך לקואורדינטה ''y'', ואז שימוש ישיר ב[[חוק סנל]] מאפשר למצוא את צורת מסלולה של קרן אור. חישוב פשוט מראה שאם
<math>\varphi</math> היא הזווית בין כיוון ההתקדמות המקומי של הקרן לאנך, אז <math>\mathbb{sin}\varphi \cdot n(y) = const\implies \frac{y}{\mathbb{sin}\varphi} = const</math>, וקבוע זה הוא למעשה [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] של קשת המעגל. מכיוון ש-<math>n\rightarrow \infty</math> כאשר <math>y\rightarrow 0</math>, קשת מעגל זו תמיד חותכת את ציר ה-''x'' – המייצג את "הנקודות באינסוף" – בזוויות ישרות.

=== חישוב מרחק ===
אם שתי נקודות <math display=inline>p_1</math> ו-<math display=inline>p_2</math> נחות על ישר היפרבולי (חצי מעגל אוקלידי) אשר חותך את ציר ה-''x'' בנקודות האידיאליות <math display=inline>p_0 = \langle x_0, 0 \rangle</math> ו-<math display=inline>p_3 = \langle x_3, 0 \rangle,</math>, המרחק בין <math display=inline>p_1</math> ל-<math display=inline>p_2</math> הוא:

:<math display=block>\operatorname{dist}(p_1, p_2) = \left| \ln \frac{\|p_2 - p_0\| \|p_1 - p_3\|}{ \|p_1 - p_0\| \|p_2 - p_3\|} \right|.</math>

כלומר זהו [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]] של [[היחס הכפול]] של רביעיית הנקודות <math>p_0,p_1,p_2,p_3</math>.

מספר מקרים פרטיים פשוטים של נוסחת מרחק זו ראויים לציון. עבור שתי נקודות עם אותה קואורדינטת ''x'' המרחק הוא:

:<math display=block>\operatorname{dist} (\langle x, y_1 \rangle, \langle x, y_2 \rangle) =\left| \ln\frac{y_2}{y_1} \right| = \left| \ln(y_2) - \ln(y_1) \right|.</math>

ועבור שתי נקודות עם אותה קואורדינטת ''y'' המרחק מקיים:

: <math display=block>\operatorname{dist} \left (\langle x_1, y \rangle, \langle x_2, y \rangle \right )
= 2 \operatorname{arsinh} \frac{|x_2 - x_1|}{2 y}. </math>

== נקודות ועקומות מיוחדות ==
* '''נקודות אידיאליות''' (נקודות באינסוף) במודל חצי המישור של פואנקרה הן משני סוגים:
:* הנקודות על ציר ה-''x'', ו-:
:* נקודה דמיונית אחת ב-<math> y = \infty </math> שהיא הנקודה האידיאלית אליה כל הקווים הניצבים לציר ה-''x'' מתכנסים.
* '''קווים ישרים''', או גאודזות (הנתיבים הקצרים ביותר בין הנקודות שנחות עליהם) מיוצגים על ידי:
:*חצי מעגלים שמרכזם נח על ציר ה-''x''
:* קווים ישרים אנכיים הניצבים לציר ה-''x''.
* '''מעגל''' (עקומה בעל מרחק קבוע מנקודה נתונה) בעל מרכז <math>(x, y) </math> ורדיוס <math>r </math> ייוצג על ידי:
:: מעגל עם מרכז <math>(x, y \cosh (r) ) </math> ורדיוס <math>y \sinh (r) </math>.
* '''[[היפר-מעגל (גאומטריה)|היפר-מעגל]]''' (עקום שווה מרחק מישר נתון, שהוא הציר שלו) מיוצג על ידי:
:* קשת מעגל שחותכת את ציר ה-''x'' באותן שתי נקודות אידיאליות כמו חצי המעגל שמייצג את הציר שלו אך בזווית חדה או קהה.
:*[[ישר|קו ישר]] שחותך את ציר ה-''x'' באותה נקודה כמו הקו הישר האנכי שמייצג את הציר שלו, אך בזווית חדה או קהה.
* '''[[מעגל גבולי]]''' (עקום אשר כל הקווים הנורמליים לו מתכנסים אסימפטוטית באותו כיוון) מיוצג על ידי:
:* מעגל המשיק לציר ה-''x'' (אך ללא הנקודה האידיאלית של ההשקה, המייצגת את הנקודה האידיאלית אליה מתכנסים כל הקווים הנורמליים)
:* ישר המקביל לציר ה-''x'', ובמקרה זה מרכז המעגל הגבולי הוא הנקודה האידיאלית ב-<math> y = \infty </math>.

==היחס למודל הדיסק של פואנקרה ==
[[Image:Cayley transform in complex plane.png|thumb|left| 300px|טרנספורם קיילי של חצי המישור העליון ל[[דיסק היחידה]]. כמוראה באיור, הטרנספורם מעתיק קווים המקבילים לציר ה-''x'' (כאמור לעיל, קווים אלו הם מעגלים גבוליים) למעגלים המשיקים למעגל היחידה, ואת ציר ה-''x'' למעגל היחידה עצמו (מודגשים בצבע צהוב).]]
[[טרנספורם קיילי]], שהוא סוג של [[העתקת מביוס]], מהווה איזומטריה בין מודל חצי המישור העליון למודל הדיסק של פואנקרה. טרנספורם זה מעתיק את [[הישר הממשי]] של חצי המישור העליון (שהוא השפה של מודל חצי המישור) למעגל היחידה (שהוא השפה של מודל הדיסק). מכיוון שהעתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים, והיא קונפורמית, הקווים הישרים במודל חצי המישור העליון, אשר הם קשתות מעגל החותכות את הישר הממשי בזוויות ישרות, יועתקו תחת טרנספורם קיילי לקשתות מעגליות החותכות את השפה של מודל הדיסק בזוויות ישרות, בתוספת כל הקטרים של דיסק היחידה. כלומר נקודת המבט של טרנספורם קיילי מספקת מסגרת להבנת קווי הדמיון בין שני המודלים.

== ראו גם ==
* [[מודל הדיסק של פואנקרה]]
* [[גאומטריה היפרבולית]]

== מקורות ==
* Eugenio Beltrami, ''Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constante'',Annali di Matematica Pura ed Applicata, ser II 2 (1868), 232–255
* Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", ''[[Acta Mathematica]]'' v.1, p. 1. מאמר ראשון בסדרת מאמרים על מודל חצי המישור. [https://archive.org/details/thoriedesgroup00poin עותק מאורכב] נגיש באופן חופשי. בעמוד 52 ניתן למצוא תרשים של קשת חצי מעגלית (המייצגת ישר) האופייני למודל.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://mphitchman.com/geometry/section5-5.html|The Upper Half-Plane Model]
* [https://thatsmaths.com/2013/10/11/poincares-half-plane-model/|Poincaré’s Half-plane Model]

[[קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית]]