הצגת המקור של הדף "מודל TLK"

'''מודל TLK''' (מאנגלית: '''Terrace-Ledge-Kink''') או '''מודל TSK''' (מאנגלית: '''Terrace-Step-Kink''') הוא מודל תאורטי המתאר את פני השטח של [[גביש]]ים, ומשמש לחקר התופעות המתרחשות על פניהם. המודל פותח ב[[שנות ה-20 של המאה ה-20]] על ידי הפיזיקאי ה[[גרמניה|גרמני]] {{קישור שפה|2=Walther Kossel|3=וולתר קוֹסֶל}}<ref>{{צ-מאמר|מחבר=W. Kossel|שם=Zur Theorie des Kristallwachstums|כתב עת=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse|כרך=1927|שנת הוצאה=1927|עמ=135|קישור=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1927?tify=%7B%22pages%22%3A%5B139%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.424%2C%22y%22%3A0.84%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.261%7D}}</ref> והכימאי הפיזיקלי יליד [[בולגריה]] {{קישור שפה|2=Ivan Stranski|3=איבן סְטְרָנְסֶקִי}}.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Iwan N. Stranski|שם=Zur Theorie des Kristallwachstums|כתב עת=Zeitschrift für Physikalische Chemie|כרך=136|שנת הוצאה=1928|עמ=259|קישור=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/zpch-1928-13620/html?lang=de}}</ref> המודל מניח שה[[אנרגיה]] של [[אטום]] על פני השטח של הגביש קשורה לכמות [[קשרים כימיים|הקשרים הכימיים]] בין האטום הזה והאטומים השכנים לו. לכן, כדי להעריך את האנרגיה הקשורה בשינוי כלשהו בפני השטח של הגביש יש לספור את כמות הקשרים הכימיים שנשברים, ואת הכמות של קשרים שנוצרים במהלך השינוי הזה.

== מרכיבי המודל ==
[[קובץ:Kossel Crystal.png|טקסט=Kossel Crystal|ממוזער|'''איור 1''': תיאור של גביש "קוסל" (קובי פשוט – SC). מימין: סוגי השכנים לאטום מרכזי. משמאל: המרחקים ביניהם. באדום – השכנים הקרובים ביותר (NN), בכחול – הקרובים ביותר הבאים (NNN), בירוק – הקרובים ביותר הבאים לבאים (NNNN).]]
לשם הפשטות נתייחס ל{{קישור שפה|צרפתית|Cristal de Kossel|גביש קוֹסֶל}}, גביש בעל סריג קובי פשוט (SC, הנקרא גם פרימטיבי, PC), שתא היחידה שלו הוא כמתואר באיור 1 משמאל. בסך הכל יש בגביש הפשוט הזה 6 שכנים קרובים ביותר לכל אטום נתון, אך אותנו מעניין רק מה קורה מעל פני השטח, שכן סך כל הקשרים הבלתי רוויים ({{קישור שפה|2=Dangling bond|3=dangling}}) יקבע את {{קישור שפה|2=Surface energy|3=האנרגיה המשטחית}}. מעל כל אטום על פני השטח יש 9 קשרים כאלו (איור 1 מימין): אחד לשכן הקרוב ביותר (nearest neighbor - NN, במרחק ''a''), 4 קשרים לשכנים מסדר שני (next nearest neighbor - NNN, במרחק 2√''a'') ו-4 לשכנים מסדר שלישי ( next next nearest neighbor - NNNN, במרחק 3√''a''). התרומה של כל סוג שכנים כזה לאנרגיה החופשית של פני השטח שונה: השכנים מסדר שני תורמים רק כשמינית מהאנרגיה שתורמים השכנים הקרובים ביותר, ואילו אלו מהסדר השלישי – רק כ-1/27 מאלו של השכנים הקרובים ביותר. לכן ניתן להתייחס, לשם הפשטות, רק לשכנים הקרובים ביותר (NN). כלומר רק לשכנים המרוחקים מאטום ספציפי במרחק ''a'' (הקווים האדומים באיור 6).

במודל TLK (איור 2) מייצגים כל אטום כ[[קובייה|קוביה]] בעלת צלע ''a'' (ולא כ[[כדור (גאומטריה)|כדור]] כבאיור 1). תחת הנחה זו האטום יוצר קשרים עם האטומים השכנים הקרובים ביותר ב[[אנך|ניצב]] ל[[פאה (גאומטריה)|פאות]] הקוביה. ככל שהוא מוקף יותר שכנים קרובים ביותר כך יהיו לו יותר קשרים, עד למקסימום של שישה קשרים, כשהוא מוקף בשכנים מכל צדדיו, כלומר כשהוא אטום המצוי בתוך הגביש (אטום צׂבֶר - bulk).
[[קובץ:Terrace-Ledge-Kink (TLK) Model (100).png|טקסט=TLK model (100) surface|ממוזער|'''איור 2''': תיאור סכמטי של פני השטח (100) של גביש קובי פשוט על פי מודל TLK המראה את האתרים האטומיים והפגמים השונים.]]
פני השטח במודל TLK מורכבים משלושה אלמנטים [[גאומטריה|גאומטריים]], כמוראה באיור 2 עבור פני השטח (100) של המבנה הקובי הפשוט הנדון:
* [[מדרגות|מדרגה]] (terrace - גם: טרסה, מִדְרַךְ, שֶׁלַח) - החלק השטוח של פני השטח המקבילים למישור הגבישי הראשי (100) באיור 2
*שפת המדרגה (ledge או step - גם: מעלה, רום) - הקו בגובה של אטום אחד המפריד בין שתי מדרגות (טרסות) סמוכות
*ברך (kink - גם: [[גומץ בית הברך|גֻּמָּץ]]) - קודקוד על גבי השפה.
אפשר להתייחס למדרגות כאל פגמים [[מישור (גאומטריה)|מישוריים]] (פלנריים) בגביש ה[[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדי]]. שפות המדרגות הם פגמים קוויים על גבי פני השטח ה[[מרחב דו-ממדי|דו-ממד]]<nowiki/>יים. לבסוף, הבירכיים שנמצאות לאורך המדרגות הן פגמי נקודה על השפות החד-ממדיות של המדרגות.

גרמי מדרגות חייבים להופיע על פני גבישים שפני השטח שלהם מצויים ב[[זווית]] כלפי [[מישור (גאומטריה)|מישור]] גבישי ראשי. (מישור גבישי ראשי הוא מישור עם [[אינדקס מילר]] כמו (100), (110) או (111). אבל כמות מסוימת של מדרגות תימצא גם על פני השטח של גבישיים אמתיים שפניהם מקבילים, לכאורה, למישור גבישי ראשי. זוהי תוצאה של שיטת ההכנה של פני השטח. בנוסף, [[יעקב פרנקל (פיזיקאי)|יעקב איליץ' פרנקל]] הראה (ב-1945) שבכל [[טמפרטורה]] גבוהה מטמפרטורת [[האפס המוחלט]], תהיה גם רמת חספוס מסוימת הנוצרת בגלל {{קישור שפה|2=Thermal fluctuations|3=תנודות תרמיות}} היוצרות ברכיים בשפות המדרגות.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=R. A. Suris|שם=Ya I Frenkel’ on real surfaces of crystals|כתב עת=Physics – Uspekhi|כרך=37/4|שנת הוצאה=1994|עמ=326|קישור=https://ufn.ru/ufn94/ufn94_4/ufn944c.pdf}}</ref> בטמפרטורות גבוהות יותר, או בתנאים רחוקים מ[[שיווי משקל תרמודינמי|שיווי-משקל תרמודינמי]], יש על פני השטח, בנוסף למדרגות, לשפות ולברכיים גם:
* אטומים ספוחים ({{קישור שפה|2=Adatom|3=אד-אטומים}}, adatoms), הן בודדים והן צברים (קלסטרים) דו-ממדיים (איים)
* [[פגם היעדרות|פגמי היעדרות]] של אטומים (advacancies) – שוב, הן בודדים והן צברים דו-ממדיים שלהם.
האדאטומים וההיעדרויות יכולים להימצא הן על פני המדרגות והן לאורך השפות, כמוראה באיור 2.
[[קובץ:Cleansi.JPG|טקסט=STM of Clean Si (100)|ממוזער|'''תמונה 1:''' תמונת דימות ממיקרוסקופ מינהור סורק של פני שטח נקיים של סיליקון (100) המראה שתי מדרגות ושפה ביניהן. (ככל שנקודה בהירה יותר היא גבוהה יותר.)]]דוגמה מעשית למרכיבים של פני השטח מוראים בתמונת הדימות מ[[מיקרוסקופ מנהור סורק|מיקרוסקופ מינהור סורק]] של פני שטח נקיים של [[צורן|Si]] (100) (תמונה 1). התמונה מראה שתי מדרגות על פני השטח (הבהירה היא הגבוהה יותר), שביניהן שפה מרובת ברכיים. על שתי המדרגות ניתן להבחין בקלסטרים רבים של פגמי היעדרות (השטחים הקטנים הכהים יותר), אך גם כמה צברים של אדטומים (השטחים הקטנים הבהירים יותר מהרקע שסביבם). השורות הנראות על פני המדרגות (שכיוונן משמאל למעלה כלפי ימין למטה במדרגה העליונה, ובניצב לכיוון זה במדרגה התחתונה) הן הדימרים של Si ב{{קישור שפה|2=Surface reconstruction|3=רקונסטרוקציה המשטחית}} (2x1), האופיינית לפני השטח של Si (100). מודל TLK מתעלם מרקונסטרוקציה כזו של הקשרים על פני השטח המעשיים של גבישים.

== האנרגטיקה של תנועת אטומים על פני השטח לפי מודל TLK ==
כמות הקשרים הכימיים הפתוחים של אטום על פני השטח של הגביש תלויה באתרו: על הטרסה, במדרגה או בנקודת הברך. טבלה 1 מפרטת את כמות הקשרים לאטומים השכנים הקרובים ביותר, ואת כמות הקשרים הפתוחים, שיש לאטומים באתרים השונים על פני השטח של גביש קוסל על פי מודל TLK.
{| class="wikitable"
|+טבלה 1: כמות הקשרים הכימיים לשכנים הקרובים ביותר,
וכמות הקשרים הפתוחים, לפי האטום ואתרו
!האטום והאתר
!כמות קשרים
!כמות קשרים פתוחים
|-
|אדאטום מדרגה (terrace adatom)
|1
|5
|-
|אדאטום שפה (ledge adatom)
|2
|4
|-
|אדאטום ברך (kink adatom)
|3
|3
|-
|אטום שפה (ledge atom)
|4
|2
|-
|אטום מדרגה (terrace atom)
|5
|1
|-
|אטום צׂבֶר (bulk atom)
|6
|0
|}
כדי להעביר אטום מאתר לאתר על פני השטח, יש להשקיע אנרגיה בשבירת הקשרים של האטום לשכניו הקרובים ביותר, אך מרוויחים אנרגיה ביצירת הקשרים החדשים. למשל, לאטום על פני המדרגה יש אנרגיה של קשר קושר אחד (ראו טבלה 1). בהזזת אטום זה אל שפת המדרגה יש לשבור קשר זה, אך בהצטרפותו למדרגה נוצרים שני קשרים חדשים. לכן בהזזה זו נוצר רווח של קשר אחד. בצורה דומה, בהזזת אטום משפת המדרגה לנקודת ברך מרוויחים שוב אנרגיה של קשר אחד.

=== חשיבות הקינקים ===
לאתר הקינק חשיבות מיוחדת בהערכת האנרגיות של מגוון תופעות על פני השטח כמו [[ספיחה]], [[דיפוזיה]] על פני השטח ו[[המראה (פיזיקה)|המראה]] (סובלימציה). אתר זה מכונה גם "עמדת חצי-גביש" ("half-crystal position"),<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Yoji Imai, Masakazu Mukaida, Akio Watanabe, Tatsuo Tsunoda|שם=Formation energies of two-dimensional nuclei randomly-generated on (001), (110), and (111) planes of a face-centered-cubic crystal|כתב עת=Thin Solid Films|כרך=300|שנת הוצאה=1997|עמ=Thin Solid Films|קישור=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0040609096095077}}</ref><ref>{{צ-מאמר|מחבר=A. A. Chernov|שם=Surface Phenomena and Parameters of Crystal Growth: Simple Basics|כתב עת=International Summer School on Crystal Growth Dailan, China|שנת הוצאה=2010|קישור=https://www.osti.gov/servlets/purl/1116864}}</ref> מפני שללא קשר לסוג הסריג של הגביש, האטום בעמדת קינק קשור למחצית ממספר האטומים השכנים שיש לאטום בנפח הגביש. אנרגיית ההיווצרות של אדאטום - תוך התעלמות מהרפיה ([[רלקסציה]]) של פני השטח של הגביש - מחושבת על ידי הפחתת האנרגיה של אדאטום מהאנרגיה של אטום באתר קינק:

<math>\Delta{G}_{f-adatom}=\epsilon_{kink}-\epsilon_{{adatom}}</math>

כדי לעזוב את אתר הקינק האטום צריך לנתק את שלושת קשריו לגביש (ראו בטבלה 1), וכדי להסתפח לפני השטח, ולהיהפך לאדאטום, עליו להקשר בקשר אחד לטרסה. אם אנרגיית הקשר בגביש קוסל היא <math>w</math>, אז אנרגיית ההיווצרות של אדאטום תינתן על ידי:

<math>\Delta{G}_{f-adatom}=\epsilon_{kink}-\epsilon_{{adatom}}=3{{w}}-w=2w</math>.

ניתן לחשב בצורה דומה את האנרגיה של מצבים אחרים על פני השטח. למשל ליצירת זוג של אדאטום והיעדרות (vacancy) על גבי הטרסה. במקרה זה מוציאים אטום שנמצא בפני הגביש (וקשור בחמישה קשרים לשכניו הקרובים - טבלה 1) וסופחים אותו לפני השטח, כך שהוא קשור רק לשכן אחד (זה שמתחתיו על פני השטח):

<math>\Delta{G}_{f-adatom-vacancy-pair}=5w-1w=4w</math>.

אנרגיית הסובלימציה בגביש קוסל היא אנרגיית הקשר (<math>w</math>) כפול מספר הקשרים לאטום (6, טבלה 1) מחולקבמספר האטומים לקשר (2). כלומר: <math>\Delta{G}_{sublimation}{}=3w</math>. זו האנרגיה הנדרשת כדי להסיר אטום מאתר הקינק.  לפיכך, ניתן לתאר את הסובלימציה כהתפרקות פני השטח של הגביש טרסה אחת בכל פעם על ידי הסרת אטומים מהקינקים שבשפת המדרגה. 

=== התלות בטמפרטורה של אכלוס אתר על פני השטח ===
מספר הפגמים מכל סוג בשיווי משקל (כלומר מספר האטומים בכל סוג של אתר פגם על פני השטח של הגביש) תלוי בטמפרטורה על ידי [[משוואת ארניוס]]. למשל, הקשר בין ריכוז האדאטומים ב[[שיווי משקל תרמודינמי|שיווי משקל]] על פני השטח לבין הטמפרטורה מתואר על ידי המשוואה הבאה:

<math>n_{adatom}=n_0e^{-\Delta{G}_{adatom} \over k_BT}</math>

כאשר <math>n_0</math> הוא המספר הכולל של אתרי פני השטח ליחידת שטח, <math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]] ו-<math>T</math> הטמפרטורה ב[[מעלות קלווין]].

ניתן להרחיב ביטוי זה כדי למצוא את ריכוז שיווי המשקל של הסוגים האחרים של הפגמים באתרים על פני השטח. לשם כך, יש להציב בביטוי הקודם את האנרגיה של הפגם המבוקש במקום האנרגיה של היווצרות אדאטום.

== הרחבת המודל לגבישים במבנים שונים ==
את הרעיון של מודל TLK ניתן להרחיב לגבישים במבנים שונים מהמבנה הקובי הפשוט של גביש קוסל, אבל יש להתחשב בכמות השונה של השכנים שיש לכל אטום במבנים אלו. טבלה 2 מפרטת את כמות השכנים הקרובים ביותר (NN), השכנים הקרובים מסדר שני (NNN) ומסדר שלישי (NNNN) במספר סוגים של סריגים ב[[המערכת הגבישית הקובייתית|מערכת הגבישית הקובייתית]], וכן את כמות הקשרים הפתוחים לשכנים הקרובים ביותר לאטום בפני השטח.
{| class="wikitable"
|+טבלה 2: מספר השכנים לאטום צבר ולאטום פני שטח בסריגים גבישים קוביים שונים
!סוג הסריג הגבישי
!שכנים קרובים ביותר
לאטום צבר (NN)
!שכנים מסדר שני
לאטום צבר (NNN)
!שכנים מסדר שלישי
לאטום צבר (NNN)
!קשרים פתוחים לשכנים קרובים
לאטום על פני השטח (100)
|-
|קובי פשוט (SC, קוסל)
|6
|12
|8
|1
|-
|קובי ממורכז פאה (FCC)
|12
|6
|24
|4
|-
|קובי ממורכז גוף (BCC)
|8
|6
|12
|4
|-
|[[יהלום]] (D)
|4
|12
|12
|2
|-
|[[ספלריט|צינקבלנדה]] (ZB)
|4
|12
|12
|2
|}

== חשיבות המודל ==
על בסיס מודל TLK פיתחו ויליאם {{קישור שפה|2=Keith Burton|3=קית' בֶּרְטוֹן}}, {{קישור שפה|2=Nicolás Cabrera (physicist)|3=ניקולס קַבְּרֵרָה}} ו{{קישור שפה|2=Frederick Charles Frank|3=צ'רלס פרנק}} את התאוריה הבסיסית של גידול גבישים המוכרת כתיאורית BCF.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=W. K. Burton, N. Cabrera, and F. C. Frank|שם=The Growth of Crystals and the Equilibrium Structure of their Surfaces|כתב עת=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences|כרך=243|שנת הוצאה=1951|עמ=299|קישור=https://www.jstor.org/stable/91559}}</ref> במודל TLK ובתיאורית BCF מניחים, לשם הפשטות, שברכיים המזיזות את שפת המדרגה על פני השטח ביחידת סריג אחת שכיחות הרבה יותר מאלו שמזיזות אותה ביותר מיחידת סריג אחת. קירוב זה "נשבר" כאשר אנרגיית הברך נמוכה (יחסית ל‑''k<sub>B</sub>T'' - היכן ש-''k<sub>B</sub>'' הוא [[קבוע בולצמן]], ו-''T'' הטמפרטורה ב[[מעלות קלווין]]), כמו באיור 2 המראה את פני השטח של Si (100). אפשר לראות שבמקרה זה הברכיים מזיזות, לעיתים, את שפת המדרגה במספר יחידות סריג. על בסיס האנרגטיקה של כל אתר אטומי במודל TLK חישבו ברטון, קבררה ופרנק את ההסתברות של הפגמים על פני השטח כפונקציה של הטמפרטורה. הגביש גדל על ידי ההתקדמות של שפות המדרגות כתוצאה מקליטה או פליטה של אדאטומים המפעפעים ומגיעים אליהם. בניתוח המתמטי שלהם מיוצגים האדאטומים באמצעות [[ריכוז (כימיה)|ריכוז]] על פני השטח, המקיים [[משוואת דיפוזיה]]. [[תנאי שפה|תנאי השפה]] במדרגות מסבירים את הפיזיקה של תהליכי ההצטרפות או ההתנתקות שלהם לשפות המדרגות, בעוד שמהירות הזרימה של שפת המדרגה פרופורציונלית ל[[שטף]] הכולל של האדאטומים המגיעים אל שפתה.

== ראו גם ==
* [[מבנה גבישי]]
* [[גידול גבישים]]
* [[אפיטקסיה]]
* [[פגמים בגבישים]]
* [[ספיחה]]

== הערות שוליים ==
<div class="mw-content-ltr">
{{הערות שוליים}}
</div>
[[קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה]]
[[קטגוריה:הנדסת חומרים]]
[[קטגוריה:קריסטלוגרפיה]]