הצגת המקור של הדף "מומנט (הסתברות)"

'''מומנט''' של [[משתנה מקרי]] הוא ה[[תוחלת]] של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] שלמה כלשהי של המשתנה המקרי. המומנטים השונים של משתנה מקרי מהווים אינדיקציה לתכונות שונות של [[התפלגות]] המשתנה, ובמקרים רבים די בחישוב של מספר מומנטים כדי לקבל מידע על המשתנה האקראי, ללא חישוב מפורש של פונקציית ההתפלגות <math>\mathbb{P}\{X<x\} </math>.

== הגדרה ותכונות כלליות ==
המומנט ה-k של משתנה מקרי <math>X </math> הוא <math>m_k (X)= E[X^k] \! </math> (בתנאי שהאינטגרל [[טור (מתמטיקה)#התכנסות בהחלט|מתכנס בהחלט]]).

בדומה לזה, '''המומנט המרכזי''' ה-k הוא המומנט ה-k של המשתנה המקרי <math>\tilde{X}=X-E[X] </math>, אשר מתקבל על ידי הסטת המשתנה המקורי, <math>X </math>, בתוחלתו כך שלמשתנה החדש תוחלת 0. את המומנט המרכזי מסמנים <math> \mu_k (X)= E \left[ ( X - E[X] )^k \right] \! </math>. לפי ההגדרה, המומנט מסדר אפס הוא 1: <math> m_0 (X)=\mu_0(X)= 1 \!</math>.

המומנטים של [[משתנה מקרי רציף]] <math>\tilde{X} </math> הם <math> \mu_k (X)= \int_{-\infty}^\infty x^k f_\tilde{X}(x)dx </math>, כאשר f היא [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]]. עבור משתנה מקרי בדיד מתקבל ביטוי דומה עם [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] במקום הצפיפות.

אפשר לנרמל את המומנטים לפי סטיית התקן, ולקבל '''מומנט מתוקן''' – <math> \frac{\mu_k}{\sigma^k}</math>. לכל משתנה מקרי, המומנט המתוקן הראשון הוא 0, והשני 1.

למומנט המרכזי התכונות הבאות:
* הזזה בקבוע איננה משנה את המומנט: <math>\mu_k(X+b)=\mu_k(X)\!</math>.
* המומנט המרכזי הוא [[פונקציה הומוגנית]]: <math>\mu_k(aX)=a^k\mu_k(X)\!</math>.
* המומנטים המרכזיים מסדר אי-זוגי הם 0 עבור משתנה מקרי סימטרי, משום שאם <math> f_\tilde{X}(x) </math> [[פונקציה זוגית]] ו-<math> k </math> אי-זוגי, אז <math>x^k f_\tilde{X}(x)</math> אי-זוגית והאינטגרל שלה הוא 0 (בתנאי שהאינטגרל [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנס]]). לדוגמה, ה[[התפלגות נורמלית]] סימטרית, ולכן כל המומנטים מסדר אי-זוגי שלה הם 0.

== מומנטים מסדרים שונים ==
למומנטים מסדרים נמוכים ישנה משמעות אינטואיטיבית לגבי ההתפלגות הנתונה:
* המומנט מסדר ראשון הוא ה[[תוחלת]]: <math>m_1 (X)= E[X] \! </math>. המומנט הממורכז מסדר ראשון הוא תמיד אפס: <math>\mu_1 (X)= E[X-E[X]]=0 \ </math>.
* המומנט המרכזי מסדר שני הוא ה[[שונות]]: <math> \mu_2 (X)= Var(X)\! </math>. מומנט זה מהווה מדד לפיזור (או לאי הוודאות) של המשתנה, כלומר באיזו מידה הערכים הסבירים רחוקים מהתוחלת. דגימות של משתנה בעל מומנט מרכזי מסדר שני קרוב ל-0 יניבו ערכים הקרובים לתוחלת.
* המומנט המרכזי מסדר שלישי חלקי [[סטיית תקן]] בשלישית הוא ה[[צידוד]]: <math>\ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}</math>. הצידוד מהווה מדד לחוסר סימטריות בפונקציית הצפיפות, כלומר באיזו מידה הערכים מצידה האחד של התוחלת סבירים יותר מערכים בצידה האחר.
* המומנט המרכזי מסדר רביעי חלקי סטיית התקן ברבעית פחות 3 הוא ה[[גבנוניות (סטטיסטיקה)|גבנוניות]]: <math>\ \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3</math>. גורם החיסור ב-3 איננו הכרחי מבחינת אפיון הפילוג, והוא מתווסף לצורך נרמול, כך שגבנוניות ה[[התפלגות נורמלית|פילוג הגאוסי]] לפי הגדרה זו תהיה 0. גבנוניות גבוהה מתבטאת בחריגות גדולות ונדירות מן הממוצע, בעוד שגבנוניות נמוכה פירושה שהחריגות שכיחות אך קטנות יותר בעוצמתן.

== מומנטים של סכום משתנים מקריים ==
יהיו <math>X,Y</math> שני משתנים מקריים ונניח כי קיימים להם מומנטים מכל סדר. אזי:
* <math>\mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\!</math> . פרט זה נובע מליניאריות התוחלת, והוא תקף גם למשתנים [[תלות (הסתברות)|תלויים]].
אם בנוסף ידוע כי <math>X,Y</math> הם גם [[תלות (הסתברות)|חסרי קורלציה]] אזי:
* <math>\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)</math>
ואם ידוע כי <math>X,Y</math> הם גם בלתי תלויים סטטיסטית, אזי:
:<math>\mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y)\!</math>.

== קשר בין המומנטים לבין ההתפלגות ==
[[התמרת פורייה|התמרת פוריה]] קושרת בין [[התפלגות]] של משתנה לבין [[פונקציה אופיינית (הסתברות)|הפונקציה האופיינית]] שלו, המוגדרת כך:
:<math>\ \phi_X(t) = E[e^{jtX}]</math> (כאשר <math>j=\sqrt{-1}</math>)

אי לכך, ניתן להראות כי שני משתנים מקריים הם שווי פילוג [[אם ורק אם]] יש להם אותה פונקציה אופיינית, ומכאן שהפונקציה האופיינית מגדירה את פילוג המשתנה.

מתוך הפונקציה האופיינית ניתן להגדיר את [[פונקציה יוצרת מומנטים|הפונקציה היוצרת מומנטים]] של משתנה מקרי:
:<math>\ M_X(t) = \phi_X(-jt)=E[e^{-j^2tX}]=E[e^{tX}]</math>

כעת, לפי [[טור טיילור|פיתוח טיילור]] של הפונקציה, <math>e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}</math>, יתקבל כי הפונקציה היוצרת מומנטים ניתנת לביטוי כך:

:<math>\ M_X(t) = E\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(tX)^k}{k!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} E[X^k]t^k</math>.

'''מסקנה''': אם ידועה פונקציית הצפיפות של המשתנה המקרי, ניתן לקבל מומנט כלשהו מסדר <math>k</math> על ידי כתיבת הפונקציה היוצרת מומנטים, גזירתהּ <math>k</math> פעמים והצבת 0:

:<math>\ \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0} = \frac{1}{k!}k\cdot (k-1)\cdot...\cdot 1 \cdot E[X^k] = E[X^k]</math>

מאידך, תחת תנאים מתאימים, אם ידועים לנו כל המומנטים של המשתנה המקרי, ניתן להשתמש בנוסחה הנ"ל לקבלת פונקציית הצפיפות. אם כי קיומה של הפונקציה היוצרת מומנטים אינו מובטח (על [[אינטגרל]] התוחלת להתכנס), ונדרשים תנאים להחלפת סדר סכימה ואנטגרציה כדי לקבל את המסקנה לעיל.

== ראו גם ==
* [[פונקציה יוצרת מומנטים]]
* [[בעיית המומנטים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)|*]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]