הצגת המקור של הדף "מטריצה אוניטרית"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''מטריצה אוניטרית''' היא [[מטריצה ריבועית]] מעל [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] המקיימת את התנאי
: <math> A^* A = A A^* = I</math> כלומר <math>\overline{A^T} A = A\overline{A^T} = I_n\,</math>
כאשר <math>I</math> היא [[מטריצת היחידה]], ו־<math>\ A^* = A^\dagger = \overline{A^T}</math> הוא [[מטריצה צמודה|הצמוד ההרמיטי]] של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של [[מטריצה נורמלית]].

[[מטריצה אורתוגונלית]] היא מקרה פרטי של מטריצה אוניטרית שכל רכיביה הם מספרים ממשיים.

==תכונות של מטריצות אוניטריות==
* <math>A\,</math> [[מטריצה הפיכה]] ו-<math>A^{-1} = A^* = \overline{A^T}\,</math>
* מטריצה אוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]]: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x, A^{*}Ay \rangle = \langle x, Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] ב[[מכפלה פנימית]])
* מטריצה אוניטרית<math>A\,</math> שומרת על [[נורמה (אנליזה)|נורמה]], כלומר <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של כל [[ערך עצמי]] שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על [[מעגל היחידה]] של [[המישור המרוכב]].
* אם A אוניטרית אז<math>A^*\,</math> ו־<math>\overline{A}</math> הן גם אוניטריות.
* מטריצה <math>n \times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math> היא אוניטרית [[אם ורק אם]] שורותיה הן [[בסיס אורתונורמלי]] של <math>\mathbb{F}^n</math> ביחס ל[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית בו.

==חבורת המטריצות האוניטריות==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] כאשר הפעולה הבינארית של החבורה היא כפל מטריצות ומסומנת <math>\mathrm{U}(n)</math>. [[תת-חבורה|תת-חבורת]] המטריצות האוניטריות עם [[דטרמיננטה]] השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת <math>\mathrm{SU}(n)</math>.

== ראו גם ==
* [[אופרטור אוניטרי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{אלגברה ליניארית}}

[[קטגוריה:מטריצות]]