הצגת המקור של הדף "מטריצה אנטי-סימטרית"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], במיוחד ב[[אלגברה ליניארית]], '''מטריצה אנטי-סימטרית''' (ב[[אנגלית]]: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix){{הערה|{{Cite book|last=Richard A. Reyment|title=Applied Factor Analysis in the Natural Sciences|last2=K. G. Jöreskog|last3=Leslie F. Marcus|publisher=Cambridge University Press|year=1996|isbn=0-521-57556-7|page=68|author-link2=K. G. Jöreskog}}}}{{הערה|התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש ב[[עברית]].}} היא [[מטריצה ריבועית]] שה[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי{{הערה|{{צ-ספר|מחבר=Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc|שם=Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra|מו"ל=McGraw-Hill. .|שנת הוצאה=ספטמבר 2005|עמ=38}}}}:
{{משוואה|משוואה=<math>A^\top = -A</math>}}
במונחי הרכיבים של המטריצה, אם <math display="inline">a_{ij}</math> מציין את הערך בשורה ה־<math display="inline">i</math> ובעמודה ה־<math display="inline">j</math>, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־
{{משוואה|משוואה=<math> \forall i, j : a_{ji} = -a_{ij}</math>}}

== תכונות ==
* אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא [[מרחב וקטורי]]. בפרט, ה[[סכום]] של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל [[כפל בסקלר|כפולה בסקלר]] של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
* כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
** הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא <math>n(n-1)/2</math>.
** הרכיבים ב[[אלכסון ראשי|אלכסון הראשי]] של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] שלה שווה לאפס.
* ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של [[i (מספר)|היחידה המרוכבת i]]).
* בפרט, אם <math display="inline">A</math> היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית <math display="inline">I + A</math> היא מטריצה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]], כאשר <math display="inline">I</math> היא [[מטריצת היחידה]].
* אם <math display="inline">A</math> היא מטריצה אנטי סימטרית <math display="inline">A^2</math> היא [[מטריצה סימטרית]] [[מטריצה חיובית|שלילית]] (negative indefinite).
* מעל שדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות ל[[מטריצה סימטרית|מטריצות סימטריות]].

== שימושים ==

=== מכפלה וקטורית ===
ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת [[מכפלה וקטורית]] ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים <math display="inline">\mathbf{a} = \left(a_1\ a_2\ a_3\right)^\top</math> ו-<math display="inline">\mathbf{b} = \left(b_1\ b_2\ b_3\right)^\top</math>, מוגדרת המטריצה:

: <math>[\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}
 \,\,0 & \!-a_3 & \,\,\,a_2 \\
 \,\,\,a_3 & 0 & \!-a_1 \\
 \!-a_2 & \,\,a_1 & \,\,0
\end{bmatrix}</math>

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

: <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times}\mathbf{b}</math>

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

=== הגדרת מטריצת סיבוב ===
בהינתן <math>\vec{\phi}</math>, [[וקטור סיבוב]], [[מטריצת הסיבוב]] <math>R</math> המתאימה תהיה:<ref>{{צ-ספר|מחבר=F.Landis Markley, John L Crassidis|שם=Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control|עמ=45}}</ref>

<math>R = e^{ -[\phi]_x}</math>

== הכללות ==
ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס ל[[האינוולוציה הסימפלקטית|אינוולוציה הסימפלקטית]] של מטריצות, או לכל [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] אחרת.

== ראו גם==
* [[מטריצה סימטרית]]

== לקריאה נוספת ==
* {{Cite book|last=Eves|first=Howard|url=https://archive.org/details/elementarymatrix0000eves_r2m2|title=Elementary Matrix Theory|publisher=Dover Publications|year=1980|isbn=978-0-486-63946-8|author-link=Howard Eves|url-access=registration}}
* {{Cite journal|last=Aitken|first=A. C.|year=1944|title=On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants.|journal=Edinburgh Math. Notes|volume=34|pages=1–5|doi=10.1017/S0950184300000070|doi-access=free}}

== קישורים חיצוניים ==
*{{יוטיוב|BjfQvtUC2HAUGZ6e|שם=עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית|ערוץ=[[הטכניון]]}}
* {{Cite web|title=Antisymmetric matrix|url=http://mathworld.wolfram.com/AntisymmetricMatrix.html|website=Wolfram Mathworld}}
* {{Cite web|last=Benner|first=Peter|last2=Kressner|first2=Daniel|title=HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems|url=http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/hapack/}}
* {{Cite journal|last=Ward|first=R. C.|last2=Gray|first2=L. J.|year=1978|title=Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]|journal=ACM Transactions on Mathematical Software|volume=4|issue=3|pages=286|doi=10.1145/355791.355799|doi-access=free}} [http://www.netlib.org/toms/530 Fortran] [http://jblevins.org/mirror/amiller/toms530.f90 Fortran90]
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מטריצות]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]