הצגת המקור של הדף "מטריצת בלוקים"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''מטריצת בלוקים''' היא [[מטריצה]] שחולקה למספר חלקים שגם הם מטריצות. מטריצת בלוקים היא צורת כתיבה נוחה וחסכונית של מטריצות, שבאה לידי ביטוי במקומות רבים ב[[אלגברה ליניארית]], כדוגמת [[צורת ז'ורדן]] ו[[צורה רציונלית]].

==דוגמה==
את המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & -9 & 2 & 2 \\ 4 & \pi & -1.5 & e \\ 0 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & -8 \end{pmatrix}</math> אפשר לכתוב בצורה 
<math>A=\begin{pmatrix} B & C \\ D & E \end{pmatrix}</math>, כאשר
<math display="block"> B=\begin{pmatrix} 1 & -9 \\ 4 & \pi \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1.5 & e \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -8 \end{pmatrix}</math>.

הבלוקים אינם חייבים להיות ריבועיים.

==פעולות על מטריצות בלוקים==
בהינתן שתי מטריצות וחלוקתן לבלוקים, אם החלוקה מקיימת תנאים מסוימים ניתן לבצע את פעולות הכפל בסקלר, החיבור וכפל המטריצות על תתי המטריצות.

*'''[[כפל בסקלר]]''' - כאן אין כל דרישה על המטריצות. בהינתן מטריצת בלוקים, הכפל שלה בסקלר כלשהו הוא כפל הבלוקים באותו הסקלר, כלומר:
<math display="block">c\cdot \begin{pmatrix} { X }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { c\cdot X }_{ 11 } & \cdots & { c\cdot X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { c\cdot X }_{ m1 } & \cdots & { c\cdot X }_{ mn } \end{pmatrix}</math>

*'''חיבור -''' בהינתן שתי מטריצות עם אותה חלוקה לבלוקים, החיבור הוא בלוק בלוק, כלומר:
<math display="block">\begin{pmatrix} { X }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn } \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} { Y }_{ 11 } & \cdots & { Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { Y }_{ m1 } & \cdots & { Y }_{ mn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { X }_{ 11 }+{ Y }_{ 11 } & \cdots & { X }_{ 1n }+{ Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 }+{ Y }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mn }+{ Y }_{ mn } \end{pmatrix}</math>

*'''כפל -''' בהינתן שתי מטריצות וחלוקה שלהן, כך שמוגדר הכפל בין כל הבלוקים המתאימים, ניתן להתייחס לבלוקים כאל איברים של מטריצות ולהכפיל כרגיל, כלומר:<math display="block">\begin{pmatrix} { X }_{ 11 } &
 \cdots & { X }_{ 1t } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { X }_{ m1 } & \cdots & { X }_{ mt } \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} { Y }_{ 11 } & \cdots & { Y }_{ 1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { Y }_{ t1 } & \cdots & { Y }_{ tn } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ 1s }{ Y }_{ s1 } } & \cdots & { \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ 1s }{ Y }_{ sn } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ ms }{ Y }_{ s1 } } & \cdots & \sum _{ s=1 }^{ t }{ { X }_{ ms }{ Y }_{ sn } } \end{pmatrix}</math>
*'''שחלוף -''' בהינתן מטריצת בלוקים <math>U</math> המורכבת מ<math>m\times n</math> בלוקים מסדר זהה, נסמן את הבלוק ה<math>ij</math> של <math>U</math> ב<math>u_{ij}</math> (כלומר <math>U=[u_{ij}]</math>). אז <math>U^t=[u_{ji}^t]</math>.
בנייה זו נותנת דרך נוחה להתעסק עם צורות שונות של מטריצות, בעיקר בהוכחות שונות ב[[מטריצה לכסינה|לכסון מטריצות]] ו[[צורת ז'ורדן|צורות ג'ורדן]].

אם הבלוק השמאלי-עליון הפיך, אפשר לחשב את הדטרמיננטה דרך הפירוק לבלוקים: <math>\det\begin{pmatrix} A& B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D-CA^{-1}B)</math>; ואם המטריצה הפיכה, אפשר לחשב כך גם את ההפכי: <math>\begin{pmatrix} A& B\\ C & D\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}(1+BP^{-1}CA^{-1})& -A^{-1}BP^{-1}\\ -P^{-1}CA^{-1} & P^{-1}\end{pmatrix}</math>, כאשר <math>P = D-CA^{-1}B</math>.

==ראו גם==
*[[מטריצת בלוקים אלכסונית]]
*[[צורת ג'ורדן]]
*[[צורה רציונלית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מטריצות|מטריצת בלוקים]]