הצגת המקור של הדף "מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר"

'''מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר''' (ידועה בקיצור '''FLRW''') היא [[מטריקה רימנית|מטריקה]] המבוססת על [[פתרונות מדויקים בתורת היחסות הכללית|פתרון מדויק]] של [[משוואת איינשטיין|משוואות השדה של איינשטיין]] של [[תורת היחסות הכללית]]. המטריקה מתארת [[היקום|יקום]] [[הומוגניות (אסטרונומיה)|הומוגני]], [[איזוטרופיות|איזוטרופי]], [[התפשטות היקום|מתרחב]] (או מתכווץ) [[מרחב קשיר|וקשיר]], אך לא בהכרח [[מרחב פשוט קשר|פשוט קשר]].<ref>מקור מוקדם לדברים ניתן למצוא במאמרו של רוברטסון, H. P. Robertson, Astrophysical Journal 82, 284 (1935); רוברטסון מניח מרחב שאיננו פשוט קשר במקרה של עקמומיות חיובית, ואומר שעדיין קיים החופש להניח פשטות-קשר.</ref><ref name="LaLu95">{{Citation|last=M. Lachieze-Rey|last2=J.-P. Luminet|date=1995|journal=[[Physics Reports]]|title=Cosmic Topology|volume=254|number=3|pages=135–214|arxiv=gr-qc/9605010|doi=10.1016/0370-1573(94)00085-H|bibcode=1995PhR...254..135L}}</ref><ref name="Ellis9822">{{cite conference|author1=G. F. R. Ellis|author2=H. van Elst|date=1999|title=Cosmological models (Cargèse lectures 1998)|editor=Marc Lachièze-Rey|book-title=Theoretical and Observational Cosmology|series=NATO Science Series C|volume=541|pages=1–116|arxiv=gr-qc/9812046|bibcode=1999ASIC..541....1E|isbn=978-0792359463}}</ref> הצורה הכללית של המטריקה נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיה; משוואות השדה של איינשטיין נחוצות רק כדי לגזור את [[פרמטר הסקלה של היקום]] כפונקציה של הזמן. בהתאם להעדפות גאוגרפיות או היסטוריות, לעיתים המטריקה נקראת על שם חלק מארבעת ממציאיה - [[אלכסנדר פרידמן]], [[ז'ורז' למטר]], [[הווארד רוברטסון|הווארד פ. רוברטסון]] [[ארתור ג'ופרי ווקר|וארתור ג'פרי ווקר]], בשמות '''FRW, RW''' ו-'''FL'''. מודל ה-FLRW פותח באופן עצמאי על ידי ארבעת המדענים באופן בלתי-תלוי בשנות ה-20 וה-30 של המאה ה-20.

== המטריקה הכללית ==
מטריקת FLRW יוצאת מנקודת הנחה של [[הומוגניות (אסטרונומיה)|הומוגניות]] ו[[איזוטרופיות]] של היקום. היא גם מניחה שהרכיב המרחבי של המטריקה יכול להיות תלוי זמן. המטריקה הגנרית במצב כזה היא מהצורה

: <math>- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2</math>

כאשר <math>\mathbf{\Sigma}</math> הוא אלמנט נפח של [[מרחב תלת-ממדי]] בעל עקמומיות אחידה, כלומר [[מרחב אליפטי]] [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Elliptic_geometry (אנ')] (הכללה של [[גאומטריה ספירית|מרחב ספרי]]), [[מרחב אוקלידי]] או [[מרחב היפרבולי]]. בדרך כלל הוא כתוב כפונקציה של שלוש קואורדינטות מרחביות, וישנן מספר מוסכמות לעשות זאת, המפורטות מטה. <math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math> אינו תלוי בזמן; כל התלות בזמן היא בפונקציה <math>a(t)</math>, המכונה "[[פרמטר הסקלה של היקום]]".

=== קואורדינטות קוטביות עם רדיוס אחיד ===
ב[[קואורדינטות קוטביות]], תחת הנחה של רדיוס עקמומיות אחיד, יש למטריקה את הצורה: <ref>{{Cite book|last=Wald|first=Robert|title=General Relativity|page=116}}</ref> <ref>{{Cite book|last=Carroll|first=Sean|title=Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity|pages=329–333}}</ref>

: <math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.</math>

כאשר <math>k</math> הוא קבוע המייצג את עקמומיות היקום. ישנן שתי מוסכמות נפוצות עבורו:
* ניתן לקחת את <math>k</math> עם יחידות של הופכי של שטח, ובמקרה זה ל-r יש יחידות של אורך ו-<math>a(t)</math> חסר יחידות. במקרה זה, ניתן לפרש את <math>k</math> בתור ה[[עקמומיות גאוס|עקמומיות]] של היקום כאשר <math>a(t)=1</math>. לעיתים מגדירים <math>a(t)=1</math> בהווה, ואז <math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math> הוא המרחק היחסי להתפשטות היקום ([[:en:Comoving_and_proper_distances|אנ']]).
* לחלופין, ניתן לקחת את <math>k=0,\pm 1</math> (המייצגים עקמומיות אפס, שלילית או חיובית בהתאמה). במקרה זה r הוא חסר יחידות ול-<math>a(t)</math> יש יחידות של מרחק. <math>a(t)</math> הוא [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] של היקום, ולעיתים נכתב בתור <math>R(t)</math>.

== עקמומיות ==
=== קואורדינטות קרטזיות ===
במרחב FLRW שטוח <math>(k=0)</math>, הרכיבים שאינם מתאפסים ב[[טנזור ריצ'י]] בקואורדינטות קרטזיות הם <ref>{{Cite book|last=Wald|first=Robert|title=General Relativity|page=97}}</ref>

: <math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = c^{-2} (a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2) </math>

והסקלר של ריצ'י הוא

: <math> R = 6 c^{-2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}\right).</math>

=== קואורדינטות כדוריות ===
ביקום FLRW כללי יותר באמצעות [[קואורדינטות כדוריות]], הרכיבים שלא מתאפסים בטנזור ריצ'י הם <ref>{{Cite web|title=Cosmology|url=http://icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf|page=23}}</ref>

: <math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, </math>
:
: <math>R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}</math>
:
: <math> R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)</math>
:
: <math>R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)</math>

והסקלר של ריצ'י הוא:

: <math> R = 6 \left(\frac{\ddot{a}(t)}{c^2 a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{c^2 a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right).</math>

== פתרונות ==
משוואות השדה של איינשטיין אינן משמשות במציאת הצורה הכללית של המטריקה: היא נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיות. עם זאת, קביעת ההתפתחות בזמן של <math>a(t)</math> דורשת את משוואות השדה של איינשטיין יחד עם דרך לחישוב הצפיפות, <math>\rho (t)</math>, כמו [[משוואת מצב (קוסמולוגיה)|משוואת מצב קוסמולוגית]].

למטריקה יש פתרון אנליטי [[משוואת איינשטיין|למשוואות השדה של איינשטיין]] <math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}</math> - הוא נותן את [[משוואות פרידמן]] כאשר [[טנזור מאמצים|טנזור התנע-אנרגיה]] נלקח כמפורט לעיל, כאיזוטרופי והומוגני. המשוואות המתקבלות הן: <ref>{{Citation|last=P. Ojeda and H. Rosu|date=2006|title=Supersymmetry of FRW barotropic cosmologies|journal=[[International Journal of Theoretical Physics]]|volume=45|number=6|pages=1191–1196|doi=10.1007/s10773-006-9123-2|arxiv=gr-qc/0510004|bibcode=2006IJTP...45.1152R}}</ref>

: <math>\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{\kappa c^4}{3}\rho</math>
: <math>2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\kappa c^{2} p .</math>

משוואות אלו הן הבסיס של המודל הקוסמולוגי הסטנדרטי של [[המפץ הגדול]], כולל מודל [[מודל למדא-CDM|ΛCDM]] הנוכחי.<ref>ניתן למצוא את פתרונותיהן למשל במאמר הבא: {{Cite journal|last=Rosu|first=Haret C.|last2=Mancas|first2=S. C.|last3=Chen|first3=Pisin|date=2015|title=Barotropic FRW cosmologies with Chiellini damping in comoving time|journal=Modern Physics Letters A|volume=30|issue=20|pages=1550100|arxiv=1502.07033|bibcode=2015MPLA...3050100R|doi=10.1142/S021773231550100x|issn=0217-7323}}</ref>

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* North J D: (1965) ''The Measure of the Universe – a history of modern cosmology'', Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, {{מסת"ב|0-486-66517-8}}
* {{Citation|last=Harrison|first=E. R.|title=Classification of uniform cosmological models|date=1967|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|volume=137|pages=69–79|bibcode=1967MNRAS.137...69H|doi=10.1093/mnras/137.1.69}}
* {{Citation|last=d'Inverno, Ray|title=Introducing Einstein's Relativity|place=Oxford|publisher=Oxford University Press|date=1992|isbn=978-0-19-859686-8|url=https://archive.org/details/introducingeinst0000dinv}}. ''(See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models''
</div>
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:קוסמולוגיה]]
[[קטגוריה:תורת היחסות הכללית]]