הצגת המקור של הדף "מידה משותפת"

במתמטיקה, קיומה של '''מידה משותפת''' היא תכונה המאפשרת להשוות בין שני קטעים, שני מספרים או שני מבנים מופשטים (כמו [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] או [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]). 

קיומה של מידה משותפת בין ה[[קטע|קטעים]] <math>a</math> ו-<math>b</math> פירושו שקיים קטע <math>z</math> (ממשי), כך שגם <math>a</math> וגם <math>b</math> ניתנים להרכבה ממספר שלם של עותקים של <math>z</math>. במילים אחרות, היחס בין אורכי הקטעים הוא [[מספר רציונלי]]. המונח מופיע לראשונה בספר "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]. 
באופן דומה, שני [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] הם '''בעלי מידה משותפת''' אם היחס ביניהם הוא רציונלי. הקטעים <math>a</math> ו-<math>b</math> הם בעלי מידה משותפת (כקטעים) [[אם ורק אם]] האורכים שלהם בעלי מידה משותפת (כמספרים).

לשאלת המידה המשותפת חשיבות מסוימת עבור [[פונקציה מחזורית|פונקציות מחזוריות]]: אם <math>a</math> ו-<math>b</math> הם מחזורים של אותה פונקציה, אז ניתן להסביר את שניהם באמצעות מחזור אחד, קטן יותר, בדיוק כאשר הם בעלי מידה משותפת.

קיומם של [[מספר אי רציונלי|מספרים אי רציונליים]] מוכיח כי ישנם קטעים חסרי מידה משותפת. למשל, ב[[משולש]] [[משולש ישר-זווית|ישר-זווית]] ו[[משולש שווה-שוקיים|שווה-שוקיים]], אין מידה משותפת לניצב וליתר, משום שלפי [[משפט פיתגורס]] ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] ביניהם הוא <math>\sqrt{2}</math>, ומספר זה [[מספר אי רציונלי|אינו רציונלי]].

== מידה משותפת באלגברה מופשטת ==

ב[[תורת החבורות]], לשתי [[תת חבורה|תת חבורות]]  <math>G_1,G_2</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> יש מידה משותפת (באנגלית: commensurable) אם ל[[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] <math>G_1\cap G_2</math> יש [[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] סופי בכל אחת מהן. זוהי הכללה של המושג המקביל למספרים ממשיים, משום שהמספרים <math>a</math> ו-<math>b</math> הם בעלי מידה משותפת אם ורק אם תת-החבורות <math>\{na: n\in \mathbb{Z}\}</math> ו-<math>\{nb: n\in \mathbb{Z}\}</math> של [[שדה המספרים הממשיים]] (כחבורה חיבורית) הן בעלות מידה משותפת. מקיומה של מידה משותפת נובע שהחבורות הן '''דמוי-איזומורפיות''' (יש להן תת-חבורות מאינדקס סופי שהן [[איזומורפיזם|איזומורפיות]] זו לזו), אבל באופן כללי ההפך אינו נכון. לחבורות נוצרות סופית בעלות מדה משותפת יש [[גרף קיילי|גרפי קיילי]] [[קוואזי-איזומטריה|קוואזי-איזומטריים]] (אבל יש חבורות קוואזי-איזומטריות שאינן בעלות מדה משותפת). ראו [[קוואזי-איזומטריה#קוואזי-איזומטריה של חבורות|קוואזי-איזומטריה של חבורות]] להשלכות של תכונה זו.

הגדרה דומה תקפה עבור תת-מודולים: <math>M_1,M_2</math> הם בעלי מידה משותפת אם לחיתוך <math>M_1\cap M_2</math> יש אינדקס סופי בכל אחד מהם. למשל, אם R הוא [[חוג דדקינד]], אז כל שני תת-מודולים מ[[דרגה של מודול|דרגה]] מקסימלית של ה[[מודול חופשי|מודול החופשי]] <math>R^n</math> הם בעלי מידה משותפת.

שני [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]], בעלי אותו [[מרחב כיסוי אוניברסלי]], הם בעלי מידה משותפת אם יש להם מרחב כיסוי משותף, בעל אינדקס סופי מעל כל אחד מהם. אם החבורה <math>G</math> [[פעולת חבורה|פועלת]] על [[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] [[מרחב פשוט קשר|פשוט קשר]] <math>X</math>, ו-<math>G_1,G_2</math> הן תת-חבורות, אז [[מרחב מנה|מרחבי המנה]] <math>X/G_1</math> ו-<math>X/G_2</math> בעלי מידה משותפת אם ורק אם <math>G_1</math> בעלת מידה משותפת עם תת-חבורה צמודה ל-<math>G_2</math>. בהקשרים גאומטריים, נקראת לפעמים תכונה זו "מידה משותפת", אף-על-פי שהיא חלשה יותר מקיום מידה משותפת במובן הקודם בין תת-החבורות.

==קישורים חיצוניים==

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]