הצגת המקור של הדף "מידה סיגמא-סופית"

ב[[תורת המידה]], ניתן לייחס ל[[מידה חיובית|מידה]] <math>\mu</math> על [[מרחב מדיד]] <math>\left(X,\mathcal{M}\right)</math> מספר תכונות של "סופיות", אשר במובן מסוים מגבילות את גודל המרחב והופכות את הטיפול בו לנוח ומעשי יותר. [[אקסיומות המנייה]] בטופולוגיה הן תכונות דומות המיוחסות ל[[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]].

==הגדרה==

יהי <math>\left(X,\mathcal{M},\mu \right)</math> [[מרחב מידה]]. נאמר שהמידה <math>\mu</math> היא:

* '''סופית''' אם <math>\ \mu (X) < \infty</math> (כלומר מידת המרחב כולו היא סופית).
* '''σ-סופית''' ('''סיגמא-סופית''') אם המרחב <math>\ X</math> הוא [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[בן מניה]] של קבוצות מדידות <math>\ E_1,E_2,\dots</math> בעלות מידה סופית.
* '''סמי-סופית''' (או '''סופית למחצה''') אם כל קבוצה מדידה <math>\ E \subseteq X</math> ממידה חיובית מכילה תת-קבוצה מדידה <math>\ F \subseteq E</math> בעלת מידה סופית שאינה אפס.

באופן מעט כללי יותר, אומרים על [[תת-קבוצה]] מדידה <math>\ E \subseteq X</math> שהיא מקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל אם הצמצום של <math>\,\mu</math> לתתי-הקבוצות המדידות של <math>E</math> נותן מידה המקיימת את התכונה המדוברת. למשל, <math>\ E \subseteq X</math> היא '''קבוצה סיגמא-סופית''' (ביחס ל-<math>\,\mu</math>) אם היא איחוד בן מניה של קבוצות מדידות ממידה סופית.

כל מידה סופית היא סיגמא-סופית וכל מידה סיגמא-סופית היא סמי-סופית, אך באופן כללי כל אחת מהתכונות הללו היא חלשה ממש מקודמותיה.

==דוגמאות==

===מידות הסתברות===

כל [[מידת הסתברות]] היא סופית, שהרי מידת הסתברות <math>\mu</math> על מרחב <math>X</math> נדרשת לקיים <math>\mu (X) = 1</math>.

===מידת לבג===

[[מידת לבג]] על <math>\mathbb{R}^n</math> היא סיגמא-סופית אבל לא סופית. אכן, אם <math>E_{k}=\left[-k,k\right]^{n}</math> אז הקבוצות <math>E_1,E_2,\dots</math> הן מדידות וממידה סופית ואיחודן הוא <math>\mathbb{R}^{n}</math>.

===המידה הסופרת===

ניתן גם לצייד את הישר הממשי <math>\mathbb{R}</math> ב[[המידה הסופרת|מידה הסופרת]], אשר מוגדרת באופן הבא: המידה של כל [[קבוצה סופית]] היא מספר האיברים בה והמידה של [[קבוצה אינסופית]] היא <math>\infty</math>. אז מידה זו אינה סיגמא-סופית, כי כל קבוצה ממידה סופית מכילה רק מספר סופי של נקודות ולכן יידרש מספר [[קבוצה שאינה בת מנייה|לא בן מניה]] של קבוצות כאלה כדי לכסות את כל [[הישר הממשי]]. עם זאת, זוהי מידה סמי-סופית, כי כל קבוצה שמידתה חיובית מכילה [[יחידון]] כלשהו ומידת יחידון במרחב מידה זה היא 1.

===חבורות קומפקטיות מקומית===

כל [[חבורה קומפקטית מקומית]] היא סמי-סופית ביחס ל[[מידת האר]] שלה, דבר אשר נובע מהקומפקטיות המקומית של החבורה ומהעובדה שמידת האר של קבוצה קומפקטית בעלת פנים לא ריק היא תמיד חיובית וסופית. אם החבורה היא בנוסף [[סיגמא-קומפקטיות]], אז היא סיגמא-סופית ביחס ל[[מידת האר]]. משפט בסיסי בתורה של [[חבורה טופולוגית|חבורות טופולוגיות]] אומר שכל חבורה קשירה קומפקטית מקומית היא סיגמא-קומפקטית ולכן כל חבורה כזו היא בעלת מידת האר סיגמא-סופית. מידת האר של חבורה קומפקטית מקומית היא סופית [[אם ורק אם]] החבורה היא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]].

===דוגמאות שליליות===

כל מידה (שאינה זהותית אפס) אשר מחזירה רק את הערכים 0 ו-<math>\infty</math> היא בבירור לא סמי-סופית (שהרי לא קיימות במרחב שכזה קבוצות ממידה חיובית סופית). לכן מידה שכזו היא גם לא סיגמא-סופית ולא סופית. דוגמה אחת למידה כזו היא כדלקמן: לכל <math>A \subseteq \mathbb{R}</math>, נגדיר <math>\mu (A) = \infty</math> אם <math>A</math> לא ריקה ו-<math>\mu (\varnothing) = 0</math>. עוד מידה מסוג זה מוגדרת על ידי <math>\mu (A) = \infty</math> אם ורק אם <math>A</math> [[קבוצה שאינה בת מנייה|אינה בת מניה]].

==תכונות של מידות סיגמא-סופיות==

למחלקת המידות הסיגמא-סופיות יש מספר תכונות נוחות ביותר; מבחינה זו ניתן להשוות סיגמא-סופיות לתכונת ה[[מרחב ספרבילי|ספרביליות]] של מרחבים טופולוגיים. משפטים מסוימים בתורת המידה דורשים סיגמא-סופיות בתור הנחה. לדוגמה, [[משפט רדון-ניקודים]] ו[[משפט פוביני]] אינם נכונים ללא הנחה מסוימת של סיגמא-סופיות (או משהו דומה) על המידות או על הקבוצות שעוסקים בהן.

אף על פי שלעיתים מתייחסים למידות שאינן סיגמא-סופיות כפתולוגיות, הן מופיעות בצורה טבעית למדי בתחומים שונים. למשל, אם <math>X</math> הוא [[מרחב מטרי]] עם [[מימד האוסדורף]] <math>r</math>, אז כל [[מידת האוסדורף|מידות האוסדורף]] שממימד נמוך יותר אינן סיגמא-סופיות אם מתייחסים אליהן כאל מידות על <math>X</math>. בנוסף, כפי שצוין לעיל, חבורה קומפקטית מקומית אינה חייבת להיות סיגמא-סופית ביחס למידת האר שלה.

===שקילות למידת הסתברות===

כל מידה סיגמא-סופית <math>\mu</math> על מרחב <math>X</math> [[שקילות של מידות|שקולה]] למידת הסתברות על <math>X</math>: יהי <math>\left\{ V_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}</math> כיסוי של <math>X</math> על ידי קבוצות מדידות זרות בזוגות ממידה <math>\mu</math>-סופית ותהי <math>\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}</math> [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של מספרים ממשיים חיוביים ("משקלות") כך ש-

: <math>\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}=1</math>.

המידה <math>\nu</math> המוגדרת על ידי

: <math>\nu\left(A\right)=\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}\frac{\mu\left(A\cap V_{n}\right)}{\mu\left(V_{n}\right)}</math>

היא מידת הסתברות על <math>X</math> אשר שקולה למידה <math>\mu</math>, כלומר יש להן בדיוק את אותן קבוצות ממידה אפס.

==תכונות של מידות סמי-סופיות==

מסתבר ששתי הדוגמאות למידה לא סמי-סופית שניתנו לעיל, בהן המידה מחזירה רק את הערכים 0 ו-<math>\infty</math>, הן במובן מסוים דוגמאות טיפוסיות למידה לא סמי-סופית. בהינתן מידה כלשהי <math>\mu</math>, ניתן להגדיר מידה חדשה על אותו המרחב לפי

: <math>\mu_{0}\left(E\right)=\sup\left\{ \mu\left(F\right):F\subseteq E,\,\mu\left(F\right)<\infty\right\} </math>

המידה <math>\mu_0</math> היא סמי-סופית והיא מכונה לעיתים '''החלק הסמי-סופי''' של <math>\mu</math>. ההצדקה לטרמינולוגיה זו היא העובדה הבאה: קיימת מידה <math>\nu</math> על אותו המרחב אשר מחזירה רק את הערכים 0 ו-<math>\infty</math> כך שמתקיים <math>\mu = \mu_0 + \nu</math>. <math>\mu</math> היא סמי-סופית אם ורק אם <math>\mu = \mu_0</math>. נעיר כי המידה <math>\nu</math> לעיל באופן כללי לא נקבעת ביחידות.

נדיר מאוד למצוא מידות לא סמי-סופיות בשימושים בפועל, אלא אם כן יוצאים מראש במטרה למצוא מידה שכזו.

==הכללות==

את המושגים של סופיות, סיגמא-סופיות וסמי-סופיות ניתן להכליל גם למידות לא חיוביות. אם <math>\mu</math> היא [[מידה מסומנת]] או [[מידה מרוכבת]], נאמר ש-<math>\mu</math> היא בעלת אחת מהתכונות הללו אם [[מידת ההשתנות הכוללת]] שלה <math>\left|\mu\right|</math> היא בעלת התכונה המתאימה.

[[מידה פריקה|פריקות]] של מידה היא תכונה אשר דומה לסיגמא-סופיות, אך כללית יותר.

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* Gerald B. Folland, '''Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications''', Wiley-Interscience, 1999 
</div>

[[קטגוריה:תורת המידה]]