הצגת המקור של הדף "מידת לבג"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
'''מידת לֵבֵּג''' (Lebesgue, על שם ה[[מתמטיקאי]] [[אנרי לבג]]) היא פונקציית [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] על [[שדה המספרים הממשיים]], שמהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג ה[[אורך]] (אפשר להכליל מידת לבג של [[נפח]] על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math>). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא ה[[אינטגרל]]. מידת לבג מסומנת באות <math>m </math>.

== ניסוח פורמלי ==
'''מידת לבג''' היא פונקציית מידה המוגדרת על אוסף הקבוצות המדידות ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]] ומחזירה לכל קטע את ה[[אורך]] שלו.

== תכונות ==
* מידת לבג היא א-שלילית ומחזירה ערכים בין [[0 (מספר)|0]] ל[[אינסוף]] (כולל אינסוף).
* מידת לבג של [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] שווה לאורך הקטע.
* מידת לבג היא [[מידה סיגמא-סופית|סיגמא-סופית]].
* מידת לבג היא [[מידה (מתמטיקה)#מידה שלמה|מידה שלמה]].
* מידת לבג של [[קבוצה בת מנייה]] היא אפס.
* [[משפט ויטלי]]: לכל קבוצה שמידתה שונה מאפס, קיימת תת-קבוצה שאיננה מדידה.
* מידת לבג אינווריאנטית תחת [[הזזה (גאומטריה)|הזזה]]: אם <math>A</math> מדידה, אזי <math>A+c</math> מדידה ו <math>m(A) = m(A+c)</math>.

== בנייה ==
יהי <math>[a,b) \subset \mathbb{R}</math> [[קטע]] (אינטרוול) ממשי. אז אורכו הוא <math>\ell[a,b) = | [a,b) | = b - a</math> . הגדרת האורך טובה לכל קטע - [[קבוצה סגורה|סגור]] או [[קבוצה פתוחה|פתוח]] באחד או שניים מקצותיו.
קל לראות שפונקציית האורך המוגדרת על קטעים היא אדיטיבית (סופית) על קבוצת כל הקטעים המוכלים בישר הממשי.

כדי להרחיב אותה לפונקציה סיגמא-אדיטיבית, נגדיר [[מידה חיצונית]] (Outer Measure) על הישר הממשי:
::: <math>m^* (A \subset \mathbb{R} ) = \inf \left\{ \sum_{n}{|I_n|} \ \ : \ \ A \subset \bigcup_{n}{I_n} \ \ \mbox{and} \ I_n \mbox{ are intervals} \right\} </math>
כלומר, פונקציה זו מחזירה את ה[[אינפימום]] על קבוצת סכומי האורכים של [[קטע (מתמטיקה)|קטעים]] המכסים את <math>A </math>.

קל לראות שהמידה החיצונית היא [[סיגמא-חצי-אדיטיבית]] (כלומר, <math>m^* ( \bigcup_{n}{A_n} ) \le \sum_{n} m^* (A_n)</math>).

כדי להפוך אותה ל[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] עלינו לצמצמה על [[סיגמא-אלגברה]] שעליה היא תהיה [[סיגמא-אדיטיביות|סיגמא-אדיטיבית]]. סיגמא-אלגברה זו תיקרא "אוסף הקבוצות המדידות".

קבוצה <math>A </math> נקראת מדידה אם לכל קבוצה <math>B </math> מתקיים <math>m^*(B) =m^*(A \cap B) + m^*(A^c \cap B) </math>.

אפשר להראות שעבור הישר הממשי, אוסף כל הקבוצות המדידות הוא ה[[סיגמא-אלגברה]] הנוצרת על ידי כל [[קבוצת בורל|קבוצות בורל]] והקבוצות בעלות [[מידה אפס]].
על הקבוצות המדידות, <math>m(A) = m^*(A)</math> וזו '''מידת לבג'''.
אוסף הקבוצות המדידות מכיל מגוון רב של קבוצות שימושיות:
* כל [[קטע]] (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצה מדידה.
* כל [[קבוצה פתוחה]] היא קבוצה מדידה.
* כל [[קבוצה סגורה]] היא מדידה.
* כל [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של קבוצות סגורות (קבוצה <math>F_\sigma</math>) הוא קבוצה מדידה.
* כל [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] בן מנייה של קבוצות פתוחות (קבוצה <math>G_\delta</math>) הוא קבוצה מדידה.
* כל איחוד או חיתוך בן מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצה מדידה.
* כל קבוצה בת מנייה היא קבוצה מדידה ומידתה היא אפס.

רוב תת-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע <math>[0,1)</math>: <math>x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}</math>. קל לראות שהיחס <math>\sim</math> הוא [[יחס שקילות]] שמפצל את הקטע ל[[מחלקות שקילות]] בנות [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]] איברים כל אחת. נבנה קבוצה <math>A</math> שמורכבת מנציג אחד עבור כל [[מחלקת שקילות]] (לשם כך נדרשת [[אקסיומת הבחירה]]). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כ[[מעגל היחידה]]) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה <math>A</math> הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.

== הכללה ל[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] כלשהו ==
את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב <math>\mathbb{R}^n</math> ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": [[אורך]] (<math>n=1 </math>), [[שטח]] (<math>n=2 </math>), ה[[נפח]] (<math>n=3 </math>) וכו'. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים ב[[תיבה (גאומטריה)|היפר-תיבות]] ([[מכפלה קרטזית]] של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים) <math>I_n = \prod_{k=1}^{n}{ [a_k, b_k )} </math>, ומגדירים נפח על [[חוג (מתמטיקה)|חוג]] התיבות באמצעות <math>v ( I_n) = \prod_{k=1}^{n}{| b_k - a_k |}</math>. מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה <math>A </math> נקראת מדידה רק אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת קבוצה <math>B </math> בחוג התיבות כך ש <math>m( A \operatorname{\Delta} B) < \varepsilon</math> כאשר <math>\Delta</math> מסמל [[הפרש סימטרי]] של קבוצות.

ישנה גם הכללה לממד [[ממד האוסדורף|לא שלם]] בהכרח על ידי [[מידת האוסדורף]].

== יישומים ==
* מידת לבג מאפשרת לחשב מידות של קבוצות מוזרות. למשל, המידה של [[קבוצת קנטור]] היא <math>0 </math> אף על פי שהיא איננה בת-מנייה (למעשה, [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] היא <math>\aleph</math>).
* באמצעות מידת לבג אפשר להגדיר את [[אינטגרל לבג]].
* נאמר שתכונה מתקיימת [[כמעט בכל מקום]] אם היא מתקיימת בקבוצה שהמשלים היא קבוצה בעלת [[מידה אפס]].

== ראו גם ==
* [[אינטגרל לבג]]
* [[תורת המידה]]
* [[קבוצת בורל]]
* [[טופולוגיה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת המידה]]