הצגת המקור של הדף "מכנה משותף"

ב[[מתמטיקה]] '''מכנה משותף ''' של שני [[שבר (מתמטיקה)|שברים]] הוא מספר שלם ושונה מ-0 המתחלק בשני ה[[מכנה|מכנים]] ללא שארית. הכפלת המונה והמכנה בכל שבר באותו מספר שלם (כך שערך השבר אינו משתנה) מאפשרת להביא את שניהם לצורה שבה יש להם אותו מכנה, וכך לבצע בקלות פעולות של [[חיבור]] ו[[חיסור]]. המכנה המשותף החיובי הקטן ביותר הוא ה[[כפולה משותפת מינימלית|כפולה המשותפת המינימלית]] של המכנים, וכל מכנה משותף אחר הוא כפולה של זה בקבוע שלם. המושג ניתן להכללה לכל קבוצה סופית של שברים.

== דוגמה ==
המכנה המשותף המינימלי של <math>\ \frac{2}{15}</math> ו- <math>\ \frac{3}{10}</math> הוא 30. אפשר לכתוב <math>\ \frac{2}{15} = \frac{4}{30}</math> ו- <math>\ \frac{3}{10} = \frac{9}{30}</math>, ולכן <math>\ \frac{3}{10} - \frac{2}{15} = \frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9-4}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}</math>.

לצורך ביצוע פעולת חיבור או חיסור אין צורך במכנה המשותף המינימלי דווקא, וכל מכנה משותף – מספר המתחלק בשני המכנים – יתאים. כך מתקבלת הנוסחה הכללית לחיבור שברים: <math>\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd}</math>, גם אם bd אינו המכנה המשותף המינימלי של b ו-d (כמו בדוגמה הקודמת, שבה <math>\ bd = 10 \cdot 15 = 150</math>).

== בחוגים אחרים ==
בכל [[תחום שלמות]] אפשר להביא קבוצה סופית של שברים לידי מכנה משותף (למשל על ידי הכפלת כל המכנים זה בזה). מאידך, המכנה המשותף המינימלי (כזה המחלק כל מכנה משותף אחר) מוגדר היטב רק בתחומי שלמות מיוחדים, כגון [[תחום פריקות יחידה|תחומי פריקות יחידה]] (ובפרט גם [[תחום ראשי|תחומים ראשיים]]).

==ראו גם==
* [[כפולה משותפת מינימלית]]
* [[מחלק משותף מקסימלי]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=מכנה משתף}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:שברים]]