הצגת המקור של הדף "מכניקה של גוף קשיח"

[[קובץ:Gyroscope operation.gif|שמאל|ממוזער|200px|[[גירוסקופ]] המאופיין בתנועה סיבובית מורכבת, אשר נחקרת במסגרת מכניקת הגוף הקשיח]]
'''מכניקה של גוף קשיח''' (או '''של גוף צפיד''') היא ענף [[פיזיקה|פיזיקלי]] החוקר את תכונותיהם ו[[תנועה (פיזיקה)|תנועתם]] של גופים קשיחים. בהקשר זה, גוף קשיח (או: צפיד) הוא גוף אשר איננו משנה את צורתו במהלך ה[[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] או, במינוח מדויק יותר, זהו אוסף [[חלקיק]]ים אשר ה[[מרחק]] בין כל שניים מהם נותר קבוע במהלך כל התנועה. מודל זה מוגבל לתיאור מצבים בהם ניתן להניח כי הגוף לא שינה את צורתו במהלך התנועה, או לחלופין, ששינוי הצורה של הגוף אינו משמעותי לניתוח התופעה.

ענף זה של ה[[מכניקה]] מטפל במספר תופעות הנוגעות לגופים קשיחים ובפרט מאפשר לנתח את תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים סביב עצמם. הכלים של מכניקת הגוף הקשיח מאפשרים את ניתוחם ותכנונם של גופים כדוגמת ה[[סביבון]], ה[[גירוסקופ]] ו{{פירושון|נדנדה|נדנדות}} למיניהן, כמו גם [[גלגל שיניים|גלגלי שיניים]] ורכיבים מכניים נוספים.

==הקשר לדינמיקה של חלקיק יחיד==
[[קובץ:Moment of inertia examples.gif|שמאל|ממוזער|250px|באיור [[מומנט התמד|מומנטי התמד]] של גופים שונים. מומנט ההתמד הוא מדד להתנגדות של גוף קשיח לשינוי ב[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]] שלו.]]
ב[[דינמיקה (מכניקה)|דינמיקה]] הקלאסית של [[חלקיק]] יחיד (בהקשר זה הוא מכונה "גוף נקודתי"), על מנת לתאר תנועה של חלקיק במרחב נדרשים שלושה גדלים (לדוגמה: קואורדינטות האורך, הרוחב והגובה שלו), היות שהחלקיק יכול לנוע בשלושה כיוונים [[תלות ליניארית|בלתי תלויים]]. במינוח פיזיקלי, לחלקיק יחיד יש 3 [[דרגות חופש (מכניקה)|דרגות חופש]] מרחביות, והיות שהוא נקודתי אין לו דרגות חופש פנימיות. ניתן להראות כי לגוף קשיח, על אף שהוא עשוי להיות מורכב ממספר גדול מאוד של חלקיקים, יש תמיד בדיוק 6 דרגות חופש: תנועה בשלושה כיוונים, וסיבוב סביב שלושה צירים. בדומה לדינמיקה של חלקיק יחיד (ובאופן כללי יותר, בדומה לכל מערכת [[המילטוניאן|המילטונית]] עם מספר סופי של דרגות חופש), הדינמיקה של הגוף הקשיח מתארת את השינוי בזמן של שש הקואורדינטות של הגוף בכפוף לכוחות הפועלים עליו.

[[סופרפוזיציה|ניתן לפרק]] את תנועתו של גוף קשיח לתנועה קווית של [[מרכז המסה]] ולתנועה סיבובית של הגוף סביב עצמו. פירוק זה שימושי במיוחד, כיוון שתנועתו של מרכז המסה מתוארת לחלוטין על ידי הדינמיקה של חלקיק יחיד. באופן ציורי ניתן לומר כי מרכז המסה נע כאילו הוא היה חלקיק יחיד, והוא בכלל "לא יודע" שמחובר אליו גוף גדול. לעומת זאת, תנועתו הסיבובית של הגוף סביב עצמו היא מסובכת יותר ודורשת כלים מתמטיים מורכבים יותר כדי לנתחה.

==הגדלים היסודיים==
בניתוח דינמיקה של חלקיק יחיד נהוג להגדיר מספר גדלים: [[מהירות]], [[תנע]], [[אנרגיה]], וכיוצא בהם. עבור תנועה סיבובית של גוף קשיח, ניתן להגדיר גדלים דומים:
* התנע הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף ב[[מסה|מסתו]], או בניסוח מתמטי: <math>\vec p=m\vec v</math>. ההיטל של וקטור התנע על ציר מסוים מהווה, באופן אינטואיטיבי, מדד ל"כמות התנועה" בציר זה. באופן דומה, מוגדר וקטור ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]], <math>\vec L</math>, כך שההיטל שלו על ציר מסוים מהווה מדד ל"כמות הסיבוב" סביב ציר זה. התנע הזוויתי מוגדר כ[[מכפלה וקטורית]] של מיקום הגוף בתנעו הקווי, או בכתיב מתמטי: <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. הבדל משמעותי בין התנע הקווי לתנע הזוויתי הוא שהתנע הקווי מקביל למהירות, ואילו וקטור התנע הזוויתי '''ניצב''' למישור הסיבוב של הגוף. ניתן גם להציג את התנע הזוויתי על ידי מכפלת [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] שלו ב[[מהירות זוויתית|מהירותו הזוויתית]] <math>\vec L = I\vec\omega</math> (ראו הסבר בהמשך).
*[[החוק השני של ניוטון]] קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא גודל הכוח הפועל הגוף, או בשפה מתמטית: <math>\sum \vec F=m \vec a</math>. בצורה פשטנית, ניתן לומר שגודל זה גורם לשינוי בתנועה הקווית. המקביל הסיבובי אליו, הגורם כביכול לשינוי בתנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא [[מומנט כוח]], <math>\vec \tau</math>, והוא מוגדר כמכפלה ווקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף. בשפה מתמטית: <math>\vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} </math>. הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי <math> \vec\tau=\frac{d}{dt}\vec L=I\vec\alpha</math>. כלומר, בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.
* בדינמיקת החלקיק, מהווה ה[[מסה]] מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית. הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא [[מומנט התמד]], המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו. היות שניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים. בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא [[טנזור]] (בניגוד למסה שהיא [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]]). עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של [[קרוסלה]], לדוגמה) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד. קל לייצג את טנזור מומנט ההתמד על ידי [[מטריצה]], ובכל פעם ש־<math>I</math> מופיע במשוואה, יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בוקטור. כאשר רוצים להדגיש את עובדת היותו טנזור, הוא מסומן עם [[גג (סימן דיאקריטי)|גג]]: <math>\hat I</math>. לדוגמה, הנוסחה <math>\vec L = \hat I\vec\omega</math> מבטאת את העובדה שישנם מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית.

להלן טבלה המדגימה את הגדלים המקבילים בתיאור תנועתו הקווית והסיבובית של הגוף:

{| class="wikitable" border="3" style="margin: auto;"
! colspan=2 | תנועה קווית של גוף נקודתי
! colspan=2 | תנועה סיבובית של גוף קשיח
|-
| [[תנע]] קווי || <math>\vec{{P}}</math>
| [[תנע זוויתי]] || <math>\vec{{L}}</math>
|-
| [[כוח (פיזיקה)|כוח]] || <math>\vec{{F}}</math>
| [[מומנט כוח|מומנט הכוח]] || <math>\vec{\tau}</math>
|-
| [[מסה]] || <math>{{m}}</math>
| [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] || <math>I_{ab}</math>
|-
| [[העתק (פיזיקה)|העתק]] קווי || <math>\vec{x}</math>
| זווית הסיבוב || <math>\theta</math>
|-
| [[מהירות]] קווית || <math>\vec{v}</math>
| [[מהירות זוויתית]] || <math>\vec{\omega}</math>
|-
| [[תאוצה]] קווית || <math>\vec{a}</math>
| [[תאוצה זוויתית]] || <math>\vec{\alpha}</math>
|-
| [[החוק השני של ניוטון]] || <math>\vec{F}=m \vec a</math>
| colspan="2" align="center"| <math>\vec{\tau}=I \vec \alpha</math>

|-
| [[אנרגיה קינטית]] קווית || <math>K=\frac{m v^2}{2}</math>
| אנרגיה קינטית זוויתית || <math>K=\frac{I \omega^2}{2}</math>
|-
|}

[[קובץ:Praezession.svg|שמאל|ממוזער|150px|תנועה מורכבת של גוף קווי המורכבת מסיבוב סביב צירו (בירוק), תזוזה של ציר הסיבוב הנקראת "[[נקיפה]]" (בכחול) ומסטיות ממנה הנקראות "[[נוטציה (פיזיקה)|נוּטַצְיוֹת]]" (באדום)]]
<!-- ==תיאור פיזיקלי==

ניתן להסיק את רוב העקרונות החשובים של מכניקת הגוף הקשיח על ידי הפעלת [[מודל]] בו מהווה הגוף הקשיח מערכת אשר הנה אוסף גדול של חלקיקים אשר להם [[מרכז מסה]] משותף ושמרחקיהם אחד מהשני קבועים. כך, למשל, על ידי הקביעה כי תנע של מערכת הוא סכום התנעים של כל רכיביה, ניתן להגדיר את התנע של גוף קשיח כתנע יחיד אשר לצרכים חישוביים נמצא בנקודת מרכז המסה שלו. עם זאת, כחלק מ[[מכניקת הרצף]], מכניקת הגוף הקשיח איננה עוסקת, לרב, במבנה המולקולרי של החומר, אלא מסתפקת בחלקותו לאלמנטים קטנים בעלי ממדים [[אינפיניטסימל]]יים. כך, למשל, מבוצע חישובו של מומנט התמד על ידי סכימה של אלמנטים רבים, המומרת לכתיב [[אינטגרל]]י.{{הערה|בכתיב מתמטי: <math>I_{{ab}}=\sum_{{(i)}}m_{{(i)}}(r_{{(i)}}^2 \delta_{{ab}}-x_{{(i),a}}x_{{(i),b}})=\int (r_{{(i)}}^2 \delta_{{ab}}-x_{{(i),a}}x_{{(i),b}}) dm </math>.}}
תיאור תנועתו המלאה של גוף קשיח דורש שימוש בשש [[דרגות חופש]], שלוש לתיאור תנועתו הקווית ושלוש נוספות לתיאור תנועתו הסיבובית, כאשר חוקי הבסיס המתארים את התנהגות התנע והכוח נשמרים אף עבור מקביליהם המתארים גוף קשיח. לפיכך, במערכת מתקיים שימור תנע זוויתי, כאשר שקול המומנטים על המערכת מתאפס.

לעיתים, תנועתו של הגוף הקשיח מורכבת גם משינוי בזמן של צירי הסיבוב, תופעה הנקראת [[נקיפה]]. כך, למשל, סביבון המסתובב כשהוא נוטה על צירו, משנה מנקודת מבטו של צופה חיצוני את ציר סיבובו בתלות בזמן. תופעה נוספת המאפיינת תנועה של גופים קשיחים היא סטיות קטנות של ציר הסיבוב ממסלולו, הנקראות [[נוטציות]].
 -->

== תוצאות חשובות של התורה ==
בתורת הגוף הקשיח ישנן מספר תוצאות חשובות הנוגעות לתנועתם של גופים קשיחים. תובא כאן סקירה של מספר נקודות מרכזיות.

[[קובץ:Flight dynamics with text heb.PNG|שמאל|ממוזער|250px|צירי הסיבוב הטבעיים של ה[[מטוס]]]]

===חישוב מומנט ההתמד===
{{ערך מורחב|ערכים=[[מומנט התמד]], [[משפט שטיינר]]}}
מומנט ההתמד סביב ציר מסוים מוגדר כסיכום התרומות של כל אחת מהמסות המרכיבות את הגוף למומנט הכללי:
:<math>I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_i m_i{\rho_i}^2 </math>
כאשר <math>\rho_i</math> הוא המרחק של המסה ה־i מציר הסיבוב. ב[[גבול הרצף]], הסכום הופך לאינטגרל:
:<math>I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_V {\rho}^2(m) \,dm \!</math>
וכאן <math>\rho(m)</math> הוא המרחק של המסה m מציר הסיבוב.

כתוצאה מהגדרה זו, מתקבלת דרך לחשב את מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, העובר דרך מרכז המסה של הגוף. תוצאה זו נקראת "'''משפט שטיינר'''". בניסוח מתמטי, אם <math>I_{cm}</math> הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז <math>I_s</math>, מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לו נתון בנוסחה <math>I_s = I_{cm} + m d^2</math>, כאשר m היא מסת הגוף ו־d המרחק בין שני הצירים.

===טנזור מומנט ההתמד===
כיוון שטנזור ההתמד [[מטריצה סימטרית|סימטרי]], ניתן [[לכסון מטריצות|ללכסן]] אותו עבור כל גוף קשיח. בצורתו המלוכסנת של הטנזור, הצירים המתאימים לרכיביו נקראים "צירי התנועה הראשיים" (או, "צירי התנועה הטבעיים") והערכים על האלכסון הם מומנטי ההתמד הראשיים. לצירים הראשיים של גוף יש חשיבות רבה, כיוון שכאשר גוף מסתובב סביב ציר ראשי שלו, [[ציר סיבוב|ציר הסיבוב]] נשאר קבוע. כלומר, לא מתרחשת [[נקיפה]]. תוצאה חשובה זו מראה ש'''לכל גוף קשיח''' קיימים שלושה צירים (לפחות) שסביבם ניתן לסובב את הגוף וציר הסיבוב יישאר קבוע. פרט לחשיבות התאורטית של התופעה, יש לה גם שימוש מעשי חשוב: בעת איזון גלגל כלי רכב ב[[מוסך]], פעולות המכונאי מכוונות לכך שציר הסיבוב הראשי של הגלגל יהיה מקביל ל[[סרן (רכב)|סרן]] המכונית, שאם לא כן, הגלגל "ירצה" לשנות את ציר הסיבוב שלו, מה שיגרום להפעלת כוח על הסרן ויכול אף להביא לשבירתו.

מבחינת החישוב, חלק מהמשוואות הופכות פשוטות יותר אם מלכסנים את טנזור מומנט ההתמד. כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים.{{הערה|בכתיב מתמטי:
<math>K=\frac{{1}}{{2}}I_{11} \omega_1^2+\frac{{1}}{{2}}I_{22} \omega_2^2+\frac{{1}}{{2}}I_{33} \omega_3^2</math>{{כ}}.}}

המשוואות המתארות תנועות מורכבות של גוף קשיח, בפרט כאלו הכוללות [[נקיפה]] ו[[נוטציה (פיזיקה)|נוטציה]], נקראות [[משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)|משוואות אוילר]], על שמו של ה[[פיזיקאי]] וה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]]. אלו הן שלוש משוואות הקושרות את מומנטי ההתמד של הגוף סביב ציריו הראשיים, מומנטי הכוח הפועלים עליו, המהירויות הזוויתיות סביב צירים אלו וקצב השינוי שלהן (התאוצה הזוויתית) ב[[מערכת ייחוס|מערכת הייחוס]] של הגוף הנע.{{הערה|המשוואות הן{{ש}}
:<math>
\begin{matrix}
I_1\dot{\omega}_{1}+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3 &=& \tau_{1}\\
I_2\dot{\omega}_{2}+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1 &=& \tau_{2}\\
I_3\dot{\omega}_{3}+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2 &=& \tau_{3}
\end{matrix}
</math>
כאשר <math>\tau_i</math> הם רכיבי מומנט הכוח, <math>\omega_i</math> הם רכיבי וקטור ה[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]], ו־<math>I_i</math> הם מומנטי ההתמד סביב הצירים הראשיים של הגוף. ניתן לסכם את המשוואות הללו למשוואה וקטורית אחת:
:<math>\hat I \cdot \dot{\vec{\omega}} + \vec{\omega} \times \left( \hat{I} \cdot \vec{\omega} \right) = \vec{\tau}</math>
}}

==גוף קשיח ב[[תורת היחסות]]==
[[תורת היחסות]] שוללת את קיומם של גופים קשיחים, שכן כאשר מתחיל לפעול כוח על גוף לא ייתכן שכל חלקיו יתחילו לנוע באופן מיידי, בגלל המגבלה של העברת האינפורמציה (קרי – תגובת חלקיו הרחוקים ביחס לנקודת הפעלת הכוח) במהירות הנמוכה מ[[מהירות האור]]. לכן, אין טעם לדבר על מכניקה יחסותית של גוף קשיח במובן הפשוט. עם זאת, למושגים כמו [[תנע זוויתי]] יש חשיבות רבה בתורת היחסות, נזכיר כי תנע זוויתי איננו בהכרח קשור לגוף קשיח.<!--

עם זאת, בתנועות במהירויות הנמוכות משמעותית ממהירות האור, ניתן להזניח אפקטים יחסותיים בעת דיון בתנועתו של גוף קשיח. -->

==מקורות==
<div class="mw-content-ltr">
* Kittel, '''Mechanics''', Berkeley Physics Course
* L. D. Landau and E. M. Lifshitz, '''Mechanics, Course of Theoretical Physics''', 3rd ed., Vol. 1.
* Michael Gedalin,[http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Physics1_Gedalin/Lecture11.pdf Rigid body rotation I, Theory]{{קישור שבור|date=יולי 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }},[http://physweb.bgu.ac.il/COURSES/Physics1_Gedalin/Lecture12.pdf Rigid body rotation II, Applications]{{קישור שבור|date=יולי 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} </div>

==ראו גם==
{{תקציר פורטל|פיזיקה}}
'''תחומים קרובים'''
* [[מכניקה קלאסית]]
* [[מכניקה אנליטית]]
* [[מכניקת הרצף]]
** [[מכניקת הזורמים]]
** [[תורת האלסטיות]]
* [[הנדסה אזרחית]]
* [[הנדסת מכונות]]
'''בפיזיקה ובמתמטיקה'''
* [[זוויות אוילר]]
* [[גירוסקופ]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}


{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מכניקה|*]]
[[קטגוריה:תחומים בפיזיקה]]
[[קטגוריה:סיבוב]]