הצגת המקור של הדף "מכפלה (תורת הקטגוריות)"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|תורת הקטגוריות]], '''מכפלה''' של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון [[מכפלה קרטזית]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[מכפלה ישרה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], [[מרחב מכפלה (טופולוגיה)|מכפלה של מרחבים טופולוגיים]] וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים.

==הגדרה==
נניח כי ''C'' היא [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] וכי <math>\,\{X_i|i \in I\}</math> היא משפחה של אובייקטים ב-''C''. המכפלה של הקבוצה <math>\,\{X_i\}</math> היא אובייקט ''X'' ביחד עם אוסף מורפיזמים <math>\,\pi_i:X\rightarrow X_i</math> (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד '''אפימורפיזמים''') אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט ''Y'' ואוסף מורפיזמים <math>\,f_i:Y\rightarrow X_i</math> קיים מורפיזם יחיד <math>\,f:Y\rightarrow X</math> כך שלכל <math>\,i \in I</math> מתקיים <math>f_i = \pi_i \circ f</math>. במילים אחרות, לכל ''i'' הדיאגרמה הבאה היא [[דיאגרמה קומוטטיבית]]:
[[תמונה:CategoricalProduct-01.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של מכפלה]]
במילים אחרות, ''X'' הוא [[אובייקט סופי]] בקטגוריה <math>C_{\{X_i\}} = \left\{ (Z, \{ g_i : Z \to X_i \}) \ | \ \forall i : X , X_i \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_i \in \mathrm{Mor}(Z,X_i) \right\}</math> עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). 

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב<math>\,X_1 \times X_2</math>, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:
[[תמונה:CategoricalProduct-03.png|מרכז|התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים]]
המורפיזם היחיד ''f'' ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב<''f''<sub>1</sub>,''f''<sub>2</sub>>.

==דוגמאות==
* בקטגוריה של קבוצות, המכפלה היא פשוט [[מכפלה קרטזית]] של אוסף הקבוצות. בהינתן משפחה של קבוצות ''X<sub>i</sub>'', המכפלה מוגדרת על ידי:
:<math>\prod_{i \in I} X_i := \{(x_i)_{i \in I} | x_i \in X_i \, \forall i \in I\}</math>
וההטלות הקנוניות הן 
:<math>\pi_j : \left( \prod_{i \in I} X_i \right) \to X_j \mathrm{ , } \quad \pi_j((x_i)_{i \in I}) := x_j</math>
בהינתן קבוצה כלשהי ''Y'' ואוסף של פונקציות
:<math>\,f_i : Y \to X_i</math>
המורפיזם האוניברסלי ''f'' נתון על ידי
:<math>f:Y \to \prod_{i \in I} X_i \mathrm{ , } \quad f(y) := (f_i(y))_{i \in I}</math>
* בקטגוריה של [[מרחבים טופולוגיים]], המכפלה נתונה על ידי מכפלה של מרחבים טופולוגיים. כקבוצה, המכפלה שווה למכפלה הקרטזית של הקבוצות מהן מורכבים המרחבים הטופולוגים, וה[[טופולוגיה]] היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה ההטלות הן [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]]. ההטלות הן, שוב, כמו בקטגוריה של קבוצות, ועקב בחירת הטופולוגיה על המכפלה הן מהוות פונקציות רציפות, ולפיכך מורפיזמים בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים.

==קיום ויחידות==
לא בכל קטגוריה ''C'' קיימת לכל משפחה <math>\,\{X_i\}</math> מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם <math>\,\pi_i:X\rightarrow X_i</math> ו-<math>\,\pi'_i:X'\rightarrow X_i</math> הן זוג מכפלות של המשפחה <math>\,\{X_i\}</math> אז קיים [[איזומורפיזם]] יחיד <math>\,f:X\rightarrow X'</math> כך ש <math>\,\pi_i=\pi'_i\circ f</math>.

== ראו גם ==

* [[קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)]]
* [[מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת הקטגוריות]]