הצגת המקור של הדף "מכפלה ישרה"

ב[[מתמטיקה]], '''מכפלה ישרה''' היא [[אובייקט מתמטי]] המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. כאשר מכפילים מספר סופי של אובייקטים, המכפלה הישרה זהה ל[[סכום ישר|סכום הישר]], אבל כאשר מדובר במספר אינסופי של אובייקטים המכפלה הישרה גדולה ומסובכת יותר; אפילו ההנחה שיש בה איברים תלויה ב[[אקסיומת הבחירה]].

אפשר להגדיר מכפלה ישרה של [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] כמו [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] או [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], של [[קבוצה סדורה|קבוצות סדורות]], ועוד. המכפלה הישרה של [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] נקראת "[[מרחב מכפלה]]".

אם <math>M_i</math> הם אובייקטים מאותו סוג לכל <math>i \in I</math>, כאשר <math>I</math> היא קבוצת אינדקסים, אז המכפלה הישרה היא ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>\prod_{i \in I} M_i </math>, כלומר קבוצת הפונקציות <math>f \colon I \to \bigcup_{i \in I} M_i</math> כך ש- <math>f(i) \in M_i</math> לכל <math>i\in I</math>. לעומת זאת, בסכום הישר כוללים רק את הפונקציות ש[[כמעט כל]] הערכים שלהן טריוויאליים, במובן המתאים לסוג האובייקט. להמחשת ההבדל, המכפלה הישרה <math>\mathbb{Z}^\omega</math> של <math>\ \aleph_0</math> עותקים של <math>\ \mathbb{Z}</math> אינה [[חבורה אבלית חופשית]]{{הערה|1=Baer, 1937}} (אבל תת-החבורה של הסדרות החסומות היא חופשית{{הערה|1=Specker, 1950}}).

==הגדרה קטגורית==

ב[[תורת הקטגוריות]], המכפלה הישרה של אובייקטים <math>A_i</math> בקטגוריה, היא אובייקט <math>B=\prod A_i</math>, עם [[מורפיזם|מורפיזמים]] ("היטלים") <math>\pi_i \colon B \to A_i</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>f_i \colon C \to A_i</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>f \colon C \to B</math> כך ש- <math>f_i = \pi_i \circ f</math>. 

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים <math>A_i</math>, הוא אובייקט <math>B=\coprod A_i</math>, עם מורפיזמים <math>\iota_i \colon A_i \to B</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>f_i \colon A_i \to C</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>f \colon B \to C</math> כך ש- <math>f_i = f \circ \iota_i</math>. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי [[איזומורפיזם]].

==ראו גם==
* [[סכום ישר]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אלגברה]]