הצגת המקור של הדף "מכפלה ריקה"

ב[[מתמטיקה]], '''מכפלה ריקה''' היא [[מכפלה]] ללא [[מחלק|גורמים]], והיא שווה ל[[איבר יחידה|יחידה]] הכפלית, [[1 (מספר)|1]]. המכפלה הריקה מוגדרת כמקרה פרטי של ההגדרה הכללית של מכפלה, והיא שומרת על ה[[עקביות (לוגיקה)|עקביות]] של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.

כפי שיוסבר להלן, ההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא איבר היחידה 1, האדיש לכפל. זאת באופן דומה להגדרת ה[[סכום ריק|סכום הריק]] כ[[איבר האפס|איבר היחידה החיבורי]], [[0 (מספר)|0]]. צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות <math>\ a^0=1</math> לכל a שונה מאפס, <math>\ 0!=1</math> (אפס [[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]]) ו-<math>\prod_{i=m}^{n} x_{i}=1</math> לכל n<m. הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. לדוגמה לפי חוקי [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]]: <math>\ a^0 = a^{1-1} = a^1\cdot a^{-1}= a/a = 1</math>.

[[משפט (מתמטיקה)|משפט]]ים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה. לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] לכל [[מספר טבעי]] כולל 1.

==מדוע המכפלה הריקה שווה ל-1==

יש שתי דרכים להגדיר את המכפלה של [[קבוצה סופית]] של מספרים טבעיים. דרך אחת היא להגדיר את המכפלה של שני מספרים (באינדוקציה), ואז להגדיר את המכפלה של כל קבוצה סופית באינדוקציה על גודל הקבוצה: <math>\ a_1 \cdots a_n = (a_1 \cdots a_{n-1})a_n</math>. כדי שנוסחה אינדוקטיבית זו תתאים למקרה n=1, יש לקבל כי המכפלה הריקה היא איבר היחידה הכפלי.

דרך נוספת להגדיר את המכפלה <math>\ a_1 \cdots a_n</math> כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים <math>\ a_1, \dots,a_n</math> (ההגדרה מתלכדת עם ההגדרה האינדוקטיבית). אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת איבר אחד (ראו להלן), ולכן המכפלה הריקה שווה ל-1.

==הכללות==
מההגדרה הפורמלית של ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]], כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:
:<math>\prod_{i \in \varnothing} X_i = \{ \varnothing\}</math>
כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא [[יחידון]], שאת איברו היחיד אפשר לפרש כפונקציה הריקה. אם נפעיל על השוויון את כללי ה[[אריתמטיקה של עוצמות]] נקבל כי מכפלה ריקה של [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]], ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.

באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של [[פעולה בינארית]] בתור [[איבר יחידה|האיבר הנייטרלי]] של הפעולה. לדוגמה [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] ריק של [[תת-קבוצה|תת-קבוצות]] של קבוצה X שווה לקבוצה X עצמה.

==אפס בחזקת אפס==

לביטוי אפס בחזקת אפס, המסומן <math>0^0</math>, אין הגדרה חד-משמעית, משום שפעולת החזקה מוגדרת באופנים שונים בהקשרים שונים.

'''מעריכים שלמים'''. עבור מעריכים טבעיים n, פעולת החזקה <math>x^n</math> מוגדרת כמכפלה חוזרת n פעמים של הבסיס x (שיכול להיות מספר כלשהו). בפרט, <math>0^n=0</math> לכל <math>\, n>0</math>. אפשר, כביכול, להמשיך את הנוסחה הזו לערך n=0, ולקבוע שגם <math>0^0=0</math>. מאידך, עבור מעריכים טבעיים החזקה מקיימת את החוק <math>x^{n+m} = x^{n}x^{m}</math>, שאם מאמצים אותו עבור m=0, מקבלים <math>x^{n} = x^{n}x^{0}</math>, ולכן <math>x^0=1</math> לכל <math>\, x\neq 0</math>. הפעם, אם נמשיך את הנוסחה לערך x=0, נקבל <math>0^0=1</math>. בשל הסתירה הזו, משאירים את הערך <math>0^0</math> בלתי מוגדר. 

'''באנליזה'''. עבור מספרים ממשיים x,y, עם x>0, אפשר להגדיר <math>x^y=\exp(y \log(x))</math>. ערך זה אינו מוגדר עבור x=0 (למרות שאין מניעה לקבוע ש-<math>0^y=0</math> לכל y>0), ואפילו הגבול שלו כאשר x שואף לאפס (ו-y קבוע) תלוי בסימן של y. לכן גם מנקודת מבט זו משאירים את הערך <math>0^0</math> בלתי מוגדר. אכן, כפונקציה של שני משתנים, הגבול של <math>x^y</math> כאשר x,y חיוביים ושואפים ל-0 אינו קיים.

'''בקומבינטוריקה ובתורת הקבוצות'''. בתורת הקבוצות מגדירים את החזקה <math>a^b</math> של שני מונים כעוצמת קבוצת הפונקציות מקבוצה בעוצמה b לקבוצה בעוצמה a. הגדרה זו מסכימה עם ההגדרה המקובלת כאשר a,b מספרים סופיים. יש בדיוק פונקציה אחת מן [[הקבוצה הריקה]] לכל קבוצה אחרת (לרבות אל הקבוצה הריקה), הלוא היא [[הפונקציה הריקה]]; לכן הגדרה זו מספקת את הערך <math>a^0=1</math> לכל a, לרבות <math>0^0=1</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=מכפלה ריקה}}
* {{משמאל לימין|[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?]}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=r0_mi8ngNnM ?What is 0 to the power of 0]

[[קטגוריה:1 (מספר)]]
[[קטגוריה:כפל]]
[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]