הצגת המקור של הדף "מלכודת פאול"

[[קובץ:Paultrap movie.ogv|ממוזער|400px|חלקיקי [[אבק]] לכודים במלכודת פאול]]
'''מלכודת פאול''' היא [[מלכודת יונים|מלכודת חלקיקים]] אלקטרודינמית, שלוכדת חלקיקים טעונים ([[יון|יונים]]) באמצעות שדות [[קוואדרופול]]ים חשמליים. מלכודת זו פותחה על ידי [[וולפגנג פאול]] (Wolfgang Paul) ב-[[1958]] ב[[גרמניה]]; זו זיכתה אותו לימים ב[[פרס נובל לפיזיקה]], בשנת [[1989]].
המלכודת התגלתה כיעילה בשימור החלקיקים בתוכה לאורך זמן ועל כן איפשרה את חקירת התנהגות החלקיקים ותכונותיהם.

== רקע ==
[[קובץ:Paul-Trap.svg|ממוזער|250px|[[תרשים]] של מלכודת פאול קלאסית. חלקיק בעל מטען חיובי (אדום כהה) מוקף בענן חלקיקים דומים (אדום בהיר). ה[[שדה חשמלי|שדה החשמלי]] E (קווי השדה בצבע תכלת) נוצר על ידי הפעלת מתח אוסילטורי זהה על [[אלקטרודה|אלקטרודות]] a ו[[מתח חשמלי|מתח]] בעל [[מופע|פאזה]] הפוכה על האלקטרודה בצורת טבעת - b. תמונות 1 ו-2 מתארות מצבים שונים במהלך מחזור של [[זרם חילופין|מתח החילופין]] AC.]]
בתכנון הבסיס של מלכודות פאול, ישנן [[אלקטרודה|אלקטרודות]] היוצרות [[שדה חשמלי]] בצורת אוכף - כלומר שדה חשמלי שבו בכיוון אחד ישנו מינימום, אך בכיוון הניצב הוא מקסימום. נדמיין אוכף ממשי, אם נניח כדור במרכזו- הוא יתגלגל במורד האוכף. אך אם נסובב את המשטח עליו מונח האוכף בתדירות גבוהה מספיק אז הכדור יתייצב במרכזו תוך כדי ביצוע תנודות קטנות. לכן במקרה שלנו, כאשר מפעילים על אותן אלקטרודות במלכודת מתח המשתנה עם הזמן, המתח גורם לאוכף להסתובב. שיווי המשקל הופך ליציב כאשר תדר הסיבוב של האוכף מתאים למסת החלקיק ומטענו. 

התכנון המקורי של פאול נועד ליצור אוכף מדויק, ולכן נקרא כיום מלכודת יונים קוודרופולית (quadrupole ion trap). הוא מבוסס על שתי אלקטרודות בצורת [[היפרבולה]] הממוקמות בחלק העליון ובחלק התחתון של המלכודת, ביניהם ישנה אלקטרודה בצורת טבעת. היונים נלכדים בין האלקטרודות על ידי כך שיוצרים מתח משתנה אוסילטורית ([[זרם חילופין|AC]]) ובנוסף מתח קבוע בזמן ([[זרם ישר|DC]]) בין האלקטרודות ובכך יוצרים בחלל ביניהם שדות חשמליים קוואדרופולים דינמיים. הרעיון הכללי של לכידת יונים על ידי שדות חשמליים אוסילטורים אינו דורש תכנון מדויק מאוד של המלכודת וישנן גאומטריות רבות המאפשרות לכידה ומשמשות לשימושים שונים.

[[קובץ:Paul Trap Setup.jpg|ממוזער|250px|תרשים של מלכודת המבוססת על מלכודת פאול. ניתן לשנות את צורתן המדויקת של האלקטרודות כך שעדיין נקבל שדה קוואדרופולי דינמי. במקרה זה, החולפו האלקטרודות ההיפרבוליות בספֵירות כדוריות.]]

==ניתוח מתמטי==
===מבנה המלכודת===
על מנת ללכוד חלקיקים במלכודת [[איזוטרופיות|איזוטרופית]] ו[[פונקציה הרמונית|הרמונית]] יש להפעיל כח מהצורה
<math>
\,F =-{c}{r} 
</math>
כאשר r הוא המרחק ממרכז המלכודת ו- c הוא קבוע חיובי.
כך, ככל שהחלקיק יתרחק, הכח המופעל עליו לכיוון מרכז המלכודת יגדל.
כח שכזה נגזר מ[[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאל]] מהצורה 
<math>\varphi\sim({\alpha}{x^2}+{\beta}{y^2}+{\gamma}{z^2})</math>.
ניתן ליצור פוטנציאל מהצורה הזו על ידי שדות מולטיפולים חשמליים ומגנטים דינמיים.

מ[[משוואת לפלס]] <math>\nabla^2\varphi=0</math> נקבל ש <math>\,\alpha+\beta+\gamma=0</math>

על מנת לקבל פתרון שיתאר פוטנציאל תלת־ממדי בעל [[קואורדינטות גליליות|סימטריה גלילית]], נדרוש <math>\,\alpha,\beta=-1</math> ו- <math>\,\gamma=2</math>
אם כן, הפוטנציאל בקאורדינטות גליליות יהיה

<math>\varphi={\varphi_0}{\frac{{2}{z^2}-r^2}{{2}{z_0^2}+r_0^2}}</math> 

כאשר  <math>2z_0^2=r_0^2</math>

משואות אלה מתארות את צורת האלקטרודות הבונות את המלכודת, <math>\,r_0</math> הוא [[רדיוס]] האלקטרודה הטבעתית ו- <math>\,z_0</math> הוא המרחק בין האלקטרודות ההיפרבוליות. <math>\varphi_0</math> הוא הפוטנציאל המופעל על האלקטרודות ובאופן כללי ניתן על ידי
<math>\varphi_0=V_{dc}-{V_{ac}}{\cos({\Omega}{t})}</math>

===משוואות התנועה===
השדה החשמלי הנגזר מפוטנציאל זה משתנה ליניארית כתלות במרחק:

<math>E_z=-\frac{\partial \varphi}{\partial z}=-\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{z_0^2}z</math>

<math>E_r=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{2z_0^2}r</math>

מכאן נקבל את משוואות התנועה של חלקיק בעל מסה M ומטען Q:

<math>\frac{d^2z}{dt^2}-\frac{Q}{M}\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{z_0^2}z=0</math>

<math>\frac{d^2r}{dt^2}+\frac{Q}{M}\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{2z_0^2}r=0</math>

ממשוואות אלה ניתן לראות שהתנועה בציר z נבדלת מהתנועה במישור xy בסימן ובפקטור 2.
הסימן מעיד על צורת האוכף ואילו הפקטור 2 יוצר מצב שבו החלקיק "יעדיף" להילכד מאשר לברוח מהמלכודת, כלומר, המדרונות הכולאים יותר "תלולים" מהמדרונות המפזרים.

את משוואות התנועה ניתן לכתוב בצורה כללית, חסרת יחידות בצורה של [[משוואות מת'יו]] :
[[קובץ:Mass selective instability.gif|שמאל|ממוזער|250px|אזורי יציבות של משוואת מת'יו כתלות בפרמטרים a ו-q]]

<math>\frac{d^2u}{d\xi^2}+(a_u-2q_u\cos{2\xi})u=0</math>

כאשר u מייצג את z או r, הגודל
<math>\,\xi</math> הוא חסר יחידות הנתון על ידי <math>\,\xi=\Omega t/2</math>

בנוסף, הגדרנו פרמטרים, אף הם חסרי יחידות:

<math>a_z=-2a_r=4\frac{Q}{M}\frac{V_{dc}}{z_0^2}\frac{1}{\Omega^2}</math>

<math>q_z=-2q_r=2\frac{Q}{M}\frac{V_{ac}}{z_0^2}\frac{1}{\Omega^2}</math>

למשוואת מת'יו אין [[פתרון אנליטי]] אלא רק נומרי או בעזרת סימולצית מחשב.
הפרמטרים a ו- q מאפיינים את המשוואה ומגדירים אזורי יציבות ואי יציבות של פתרון המשוואה.

כיוון שהלכידה נעשית בלחץ אטמוספירי, החיכוך עם האוויר הוא גורם מרכזי בתנועת החלקיקים ובלכידתם. לכן, נוסיף גורם למשוואת התנועה התלוי ליניארית במהירות החלקיקים <math>\,b \frac{du}{d\xi}</math>.

===ניתוח תנועת החלקיקים===
מעתה נתמקד בתנועה על ציר z, התנועה על מישור xy אנלוגית לחלוטין, להבדיל מהפקטור המצוין לעיל.
משוואות מת'יו מתארות תנועה המורכבת מתנודות קטנות, <math>\,\delta(t)</math>, בתדירות הזהה לתדירות המתח האוסילטורי, <math>\,\Omega</math>. תנועה זו מכונה micromotion, זוהי תנועת החלקיק סביב נקודת שיווי משקל. בנוסף, המשוואות מתארות תנועה איטית יותר, <math>\bar{z}(t)</math>, המכונה secular motion זוהי תנועת החלקיקים לכיוון מרכז המלכודת כתוצאה מהכח המופעל עליהם. 
ניתן לדמות את תנועת החלקיקים לתנועתה של [[מטוטלת מתמטית|מטוטלת]] שתוך כדי תנועה משנה את אורכה בתדירות <math>\,\Omega</math>.

את ה secular motion ניתן לתאר בקירוב כ[[מתנד הרמוני|תנועה הרמונית]] <math>\frac{d^2\bar{z}}{dx^2}\simeq -\frac{q_z^2}{2}\bar{z}</math>, על כן הפוטנציאל האפקטיבי שמרגיש חלקיק בבור הוא <math>\bar{U}_{eff}= \frac{1}{2}\frac{\bar{\omega}_z^2 z^2}{Q/M}</math> כאשר <math>\bar{\omega}_z=\frac{q_z\Omega}{2^{3/2}}</math>.

==מלכודת פאול כספקטרומטר מסות==
ניתן להשתמש במלכודת לצורך ברירת חלקיקים לפי מסתם, כלומר להשתמש בה כ[[ספקטרומטר מסה|ספקטרומטר מסות]].

ראינו שתנועת החלקיקים מאופיינת על ידי התדירות <math>\bar{\omega}_z</math> בציר z ו<math>\bar{\omega}_r </math> במישור xy. בנתוני שדה קבועים, התדירות משתנה בהתאם ליחס <math>\,Q/M</math> של החלקיק. לכן, ברגע שתדירות המתח שמופעל על האלקטרודות <math>\Omega</math> תהיה שווה ל <math>\bar{\omega}_z</math> נקבל [[תהודה]] עבור חלקיקים עם היחס <math>\,Q/M</math> המתאים ל <math>\bar{\omega}_z</math>. אותם חלקיקים ינועו בתנועה הרמונית עם [[משרעת]] שתגדל באופן לנארי עם הזמן עד שיברחו מהמלכודת.
לכן, אם נציב גלאי [[אלקטרון|אלקטרונים]] מחוץ למלכודת נוכל למדוד את המטען של החלקיקים שנפלטו מהמלכדות ומכאן, נוכל לחשב את מסתם.

== ראו גם ==
* [[מלכודת יונים]]
* [[ספקטרומטר מסה]]

== לקריאה נוספת ==

<div style="direction: ltr;">

* W. Paul .1990. ''Electromagnetic Traps for Charged and Neutral Particles''. Reviews of Modern Physics.62(3):531-540
*S. Robertson. 1995. ''Experimental studies of charged dust particles''. Phys plasmas 2(6):2200-6
*S. Robertson and R. Younger. 1998. ''Coulomb crystals of oil droplets'', Am.J. Phys. 67(4):310-4
*H. Winter and H.W. Ortjohann. 1991. ''Simple demonstration of storing macroscopic particles in a "Paul Trap"''. Am.J.Phys.59(9):807-13

</div>

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://nobelprize.org/physics/laureates/1989/illpres/ פרס נובל בפיזיקה 1989]

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פיזיקה: מתקני ניסוי ותצפית]]