הצגת המקור של הדף "ממד (אלגברה)"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[אלגברה מופשטת]], '''ממד''' הוא ערך מספרי המתאים לאובייקט מופשט, בדרך כלל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] או [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]], המתאר עד כמה האובייקט מורכב. הדוגמה הבסיסית היא מושג ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] ב[[אלגברה ליניארית]], אבל ישנם ממדים רבים אחרים, המודדים תכונות מסובכות יותר. להלן כמה דוגמאות.

== ממד קרול ==

'''[[ממד קרול|ממד קרול הקלאסי]]''' של חוג שווה לאורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים בחוג, והוא עשוי להיות סופי או אינסופי. ממד קרול, המוגדר באמצעות שרשראות של תת-מודולים בחוג כמודול מעל עצמו, מודד עד כמה חוג נותרי קרוב להיות ארטיני (חוגים בעלי ממד קרול 0 הם ארטיניים). ממד קרול שווה לממד קרול הקלאסי ל[[חוג עם זהויות|חוגי PI]] (ובפרט לכל [[חוג קומוטטיבי]]).

== הממד הגלובלי ==

=== ממדים של מודולים ===
למודול M מגדירים [[ממד פרויקטיבי]] כאורך ה[[רזולוציה פרויקטיבית|רזולוציה הפרויקטיבית]] הקצרה ביותר (הממד קטן או שווה ל-n אם יש שרשרת מדויקת מהצורה <math>\ 0 \rightarrow P_n \rightarrow \cdots \rightarrow P_0 \rightarrow M \rightarrow 0</math>, כאשר כל ה-<math>\ P_i</math> [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיביים]]). באותו אופן מוגדר ה'''ממד האינג'קטיבי''' לפי הרזולוציה האינג'קטיבית הקצרה ביותר (בכיוון ההפוך, כמובן), וה'''ממד השטוח''' לפי הרזולוציה השטוחה הקצרה ביותר (ראו [[מודול שטוח]]).

=== הממד הגלובלי של חוג ===

'''הממד הגלובלי''' של חוג הוא הממד הפרויקטיבי הגדול ביותר של מודולים מעליו; זהו גם הממד האינג'קטיבי הגדול ביותר של מודולים מעל החוג. הממד הגלובלי הוא אפס אם ורק אם החוג [[חוג ארטיני|ארטיני]] [[חוג פשוט למחצה|פשוט למחצה]]. הממד הגלובלי שווה ל-1 אם החוג [[חוג תורשתי|תורשתי]]. הממד השטוח הגדול ביותר של מודולים מעל החוג נקרא '''הממד הגלובלי החלש''', והוא קטן או שווה לממד הגלובלי, עם שוויון עבור חוגים נותריים.

=== ממד קוהומולוגי ===

אם G חבורה, הממד הפרויקטיבי של [[חוג החבורה]] <math>\ \mathbb{Z}[G]</math> נקרא גם '''הממד הקוהומולוגי''' של החבורה G. זהו גם המספר n הקטן ביותר שעבורו כל חבורות הקוהומולוגיה <math>\ H^i(G,M)</math>, עבור <math>\,i>n</math>, מתאפסות. 

הממד הקוהומולוגי של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] מוגדר כממד הקוהומולוגי של [[חבורת גלואה האבסולוטית]] שלו. לדוגמה, לשדות <math>k(t_1,\cdots,t_n)</math> ו-<math>\ k(\!(t_1)\!)\cdots(\!(t_n)\!)</math> (כאשר k [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]]) יש ממד קוהומולוגי n.

== ממד גלפנד קירילוב ==

'''[[ממד גלפנד קירילוב]]''' של אלגברה מודד את קצב הגידול שלה ביחס לקבוצת יוצרים. הוא שווה ל-0 אם האלגברה בעלת ממד סופי (במובן הרגיל), ויכול להיות גם 1, כל מספר ממשי גדול או שווה ל-2, או אינסוף.

== הממד האחיד ==

ה'''ממד האחיד''' (uniform dimension) של מודול M הוא מספר המחוברים הישרים ה[[תת-מודול אחיד|אחידים]] המרכיבים [[תת-מודול עיקרי]] (תת-מודול הוא עיקרי אם הוא נחתך עם כל תת-מודול שאינו אפס; מודול שכל תת-המודולים שלו עיקריים נקרא אחיד), או אינסוף אם אין סכום ישר כזה. מסמנים את הממד הזה בסימון <math>\ \operatorname{udim}M</math>; נקרא גם '''ממד גולדי'''. מודול האפס הוא היחיד שיש לו ממד 0; ממד 1 יש רק למודולים אחידים. הממד של סכום ישר שווה לסכום הממדים.  הממד של תת-מודול תמיד קטן או שווה לזה של המודול; הממדים שווים אם ורק אם תת-המודול הוא עיקרי. מכאן שבמודול בעל ממד n אי-אפשר ליצור סכום ישר של יותר מ-n תת-מודולים. בפרט, הממד האחיד של מרחב וקטורי מעל שדה הוא הממד הרגיל.


[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:אלגברה הומולוגית]]