הצגת המקור של הדף "ממד גלפנד-קירילוב"

ב[[תורת החוגים]], '''ממד גלפנד-קירילוב''' הוא [[מספר ממשי]] [[מספרים חיוביים ושליליים|אי-שלילי]] המותאם ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]]. הממד הוא מדד לקצב הגידול של המודול ומכליל את המונח [[ממד קרול]] של מודול מעל [[אלגברה קומוטטיבית]], תוך שהוא מקיים חלק מהתכונות שלו. במקור, הממד הוגדר בהקשר של מעלת טרנסצנדנטיות לא-קומוטטיבית, שאפשרה להוכיח כי חוגי השברים של אלגברות וייל שונות אינם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]] זה לזה.

[[מקרה פרטי]] וחשוב שבו נחוץ ממד זה הוא כשרואים את האלגברה כמודול מעל עצמה (לזה קוראים 'ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה'). עבור [[אלגברה אפינית]], ניתן לחשב את הממד באמצעות בחירת קבוצת יוצרים (סופית) וחישוב ממדי המרחבים הווקטוריים הנפרשים באמצעות מילים (מונומים) באותם יוצרים. כך בא לביטוי אופייה הקומבינטורי של האלגברה בחישוב הממד.
ממד [[ישראל גלפנד|גלפנד]]-קירילוב שימושי ב[[גאומטריה לא קומוטטיבית]], שם משתמשים בו כדי למיין יריעות לא [[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיביות]].

==הגדרה==

יהי <math>k</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ו <math>R</math> [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעליו. יהי <math>M</math> [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל <math>R</math>. '''ממד גלפנד-קירילוב''' של <math>M</math> מעל <math>R</math> מוגדר בתור:

<center><math>\operatorname{GKdim}_R(M) = \sup \limsup_{n \to \infty} \frac{\log \dim_k M_0 V^n}{\log n}</math>
</center>
כאשר ה[[סופרמום]] עובר על כל [[תת מרחב|תתי המרחבים]] [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי <math>V \subset R</math> ו-<math>M_0 \subset M</math>.

הממד נדון בהרחבה במקרה שבו רואים את האלגברה <math>R</math> כמודול מעל עצמה, במקרה כזה הוא נקרא '''ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה'''. לעיתים אומרים כי אלגברה בעלת ממד גלפנד-קירילוב סופי היא בעלת ''גידול חסום פולינומית''.{{הערה|'גידול פולינומי' הוא טיפוס גידול של פולינום, ואולם אלגברה בעלת פונקציית הגידול <math>n^2\log n</math> היא בעלת גידול חסום פולינומית, שאינו פולינומי בעצמו.}}

==תכונות==
* הערכים האפשריים לממד גלפנד-קירילוב הם <math>\{0,1\}\cup [2,\infty ]</math>.{{הערה|Bergman, G. M., A note of growth functions of algebras and semigroups. Mimeographed notes, University of California, Berkeley 1978|כיוון=שמאל}}
* הממד מונוטוני לאלגברות מנה (מעל שדה הבסיס), ומתקיים: <math>\operatorname{GKdim}(A\times B)=\max\{\operatorname{GKdim}(A),\operatorname{GKdim}(B)\},\ \operatorname{GKdim}(A\otimes_F B)\leq \operatorname{GKdim}(A) + \operatorname{GKdim}(B)</math> (הממד אינו חיבורי ביחס למכפלה טנזורית).
* ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית הוא אפס [[אם ורק אם]] הממד שלה (כמרחב וקטורי) סופי. אם האלגברה אינה אפינית הטענה איננה נכונה ([[דוגמה נגדית]] היא הגבול הישר של כל חוגי המטריצות מעל שדה קבוע).
* לפי משפט של סמול, סטאפורד ווארפילד{{הערה|L. W. Small, J. T. Stafford and R. B. Warfield, Affine algebras of Gelfand-Kirillov dimension one are PI|כיוון=שמאל}} כל אלגברה נוצרת סופית מממד גלפנד-קירילוב 1 היא [[חוג עם זהויות|אלגברה עם זהויות]].
* במקרה הקומוטטיבי, ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית מתלכד עם [[ממד קרול]] (האורך המקסימלי של שרשרת [[אידיאל ראשוני|אידיאלים ראשוניים]]), ולכן עם [[ממד (גאומטריה אלגברית)|דרגת הטרנסצנדנטיות]] של [[שדה שברים|שדה השברים]]. בפרט, הוא תמיד שלם. לכל [[חוג עם זהויות|אלגברת-PI]] נוצרת סופית יש ממד גלפנד-קירילוב סופי (זו תוצאה ממשפט הבסיס של שירשוב). הממד של אלגברת-PI ניתנת להצגה (כלומר, כזו המשוכנת בחוג מטריצות מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג קומוטטיבי]], למשל אלגברה [[חוג ראשוני|ראשונית]] עם זהויות), וכן של כל אלגברת-PI [[חוג נותרי|נותרית]] הוא שלם, אך קיימות אלגברות-PI (נוצרות סופית) עם ממד לא שלם.
* לפי משפט של Smoktunowicz אין [[תחום (תורת החוגים)|תחומים]] [[אלגברה מדורגת|מדורגים]] עם ממד לא שלם בין 2 ל־3.
* האי-שוויון של [[יוסף ברנשטיין|ברנשטיין]] קובע כי ממד גלפנד-קירילוב של כל מודול נוצר סופית (לא אפסי) מעל אלגברת וייל מסדר n מעל שדה ממאפיין אפס אינו קטן מ-n.

== חבורות ==
ממד גלפנד-קירילוב של [[נוצר סופית|חבורה נוצרת סופית]] מוגדר בתור הממד של [[חוג חבורה|אלגברת החבורה]] שלה (מעל שדה שרירותי; ממד גלפנד-קירילוב של החבורה אינו תלוי בשדה הבסיס). בפרט, [[גידול של חבורה|הגידול]] של חבורה הוא פולינומי אם ורק אם ממד גלפנד-קירילוב שלה סופי. [[משפט גרומוב]] קובע כי חבורה היא מגידול פולינומי אם ורק אם היא מכילה תת-חבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]] מאינקס סופי.

==בניות==
*יש דוגמות לאלגברות אפיניות מממד שרירותי (גדול מ־2 או שווה לו). יתרה מזאת, ישנן דוגמות כאלה לאלגברות אפיניות פרימיטיביות{{הערה|W. Borho, H. Kraft
Über die Gelfand-Kirillov-Dimension
Math. Ann., 220 (1976), pp. 1–24|כיוון=שמאל}} מעל כל שדה{{הערה|Uzi Vishne, Primitive Algebras with Arbitrary Gelfand-Kirillov Dimension|כיוון=שמאל}} ואף לאלגברות פשוטות.
*יש דוגמה{{הערה|T. H. LENAGAN AND AGATA SMOKTUNOWICZ, AN INFINITE DIMENSIONAL AFFINE NIL ALGEBRA WITH FINITE GELFAND-KIRILLOV DIMENSION|כיוון=שמאל}} לאלגברה אפינית, נילית (ובפרט אלגברית) מממד גלפנד קירילוב 3 (בפרט, זוהי דוגמה נגדית ל[[בעיית קורוש]] בעלת גידול פולינומי).
*לכל מספר ממשי הגדול או שווה ל-8, קיימת אלגברה אפינית נילית עם מספר זה בתור ממד גלפנד-קירילוב שלה.

==בגאומטריה לא קומוטטיבית==
===הממד של סכמה פרויקטיבית לא קומוטטיבית===

כתחליף לממד קרול השווה לממד הטופולוגי של סכמות קומוטטיביות, מגדירים ממדים של סכמות לא קומוטטיביות (הגדרת הסכמה עצמה איננה עניין של מה בכך) באמצעות התאמת תחום אפיני נותרי (מעל שדה סגור אלגברית) לסכמה (למעשה הסכמה 'באה' מחוג כזה) והתבוננות בממד גלפנד קירילוב וב[[ממד גלובלי|ממד הגלובלי]] שלו. כך, ניתן להגדיר עקומים לא קומוטטיביים, משטחים לא קומוטטיביים וכן הלאה. ניתן לומר כי מיון העקומים הלא קומוטטיביים הושלם בידי [[מייקל ארטין]] וסטאפורד. הדבר נעשה בהסתמך על עבודות קודמות, שמבטיחות שתחום אפיני מעל שדה סגור אלגברית מממד אחד הוא קומוטטיבי.{{הערה|Stafford, J. T., Van den Bergh, M., Noncommutative curves and noncommutative surfaces,
Bull. Amer. Math. Soc. 38 (2001) 171–216|כיוון=שמאל}} באשר למשטחים לא קומוטטיביים (או ליריעות לא קומוטטיביות מממדים גבוהים יותר) המצב שונה.

===דרגת טרנסצנדנטיות לא קומוטטיבית===

כל [[תחום (תורת החוגים)|תחום]] שאינו מכיל תת-אלגברה חופשית משוכן ב[[חוג עם חילוק]], וממילא כל תחום מממד גלפנד-קירילוב סופי משוכן בחוג עם חילוק. עם זאת, פעמים רבות חוג השברים מכיל תת-אלגברה חופשית (אף שהחוג המקורי לא הכיל), ולכן ממד גלפנד-קירילוב שלו הוא אינסוף; לפיכך נחוץ אינווריאנט עדין יותר. בדומה למצב ב[[גאומטריה אלגברית|גאומטריה אלגברית קומוטטיבית]], ניתן להגדיר דרגת טרנסצנדנטיות{{הערה|J. Zhang, ON GELFAND-KIRILLOV TRANSCENDENCE DEGREE, Trans. AMS 348 (7), 1996.|כיוון=שמאל}} לחוג עם חילוק באופן הבא:
<math display="block">\operatorname{Tdeg}(D)=\sup_V \inf_{b\in D\setminus \{0\}} \limsup_{n\rightarrow \infty} \log_n \dim_F (F+bV)^n</math>
כאשר הסופרמום עובר על כל תתי-המרחבים הסוף-ממדיים של האלגברה. הגדרה זו, הנראית מעט מסורבלת במבט ראשון, מתבררת כמכשיר נוח וטבעי למדידת דרגת הטרנסצנדנטיות של [[חוג עם חילוק|אלגברות חילוק]]. ואמנם, [[ישראל גלפנד|גלפנד]] וקירילוב חישבו כי <math>\operatorname{Tdeg}(D_n)=2n</math> עבור חוגי השברים של [[אלגברת וייל|אלגברות וייל]]; מכאן נובע שחוגי שברים אלו אינם איזומורפיים זה לזה. הדבר נעשה כחלק מעבודתם על מה שכונה [[השערת גלפנד-קירילוב]].
עבור חוגי שברים <math>D=Q(A)</math> ניתן לבטא את דרגת הטרנסצנדנטיות באמצעות הנוסחה הקומפקטית יותר הבאה:
<math display="block">\operatorname{Tdeg}(D)=\inf_{b\in D\setminus \{0\}} \operatorname{GKdim}(F[bV])</math>
כאשר האינפימום עובר על תתי-מרחבים המכילים את 1 ומקיימים <math>Q(F[V])=D</math> (כלומר יוצרים אלגברה שחוג השברים שלה הוא כל החוג הנתון).

== דיכוטומיה בממד 2 ==
מכיוון ש-2 הוא הערך המינימלי האפשרי לאלגברה אפינית, שאינו מבטיח בוודאות שהיא מקיימת זהות פולינומית, התנהגותה של אלגברה מממד כזה (ותורת המבנה שלה) מעניינות במיוחד.
אומרים שלאלגברה יש '''גידול ריבועי''' אם פונקציית הגידול שלה חסומה על ידי פולינום ממעלה שנייה.

בראון וסמול שאלו האם אלגברה אפינית, ראשונית ונותרית מממד 2 היא בהכרח [[חוג פרימיטיבי|פרימיטיבית]] או מקיימת [[חוג עם זהויות|זהות פולינומית]]. בניסוחה זה השאלה נותרה פתוחה, אבל היא נפתרה (לחיוב או לשלילה) בכמה מקרים חשובים.
לשאלה תשובה חיובית במקרים הבאים:
*אם שדה הבסיס אינו בן-מנייה והאלגברה בעלת גידול ריבועי (במקרה זה אין צורך להניח נותריות, ומספיק להניח כי האלגברה היא Goldie).
*אם האלגברה היא תחום מדורג.
*אם האלגברה כמעט-סוף ממדית (במובן שכל מנה אמיתית שלה היא סוף-ממדית) ו[[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבית למחצה]].
*אם האלגברה מוצגת סופית מונומיאלית.
*אם האלגברה מדורגת (על ידי חבורת המספרים השלמים), נוצרת על ידי איברים מדרגות 0,1 ו-1- וכמעט כל רכיביה ההומוגניים אינם מתאפסים (במקרה זה מספיק להניח כי ממד האלגברה קטן ממש מ-3, ואף אין צורך בהנחת הנותריות).

עם זאת:
*התשובה שלילית אם אין מניחים נותריות, ואף קיימת דוגמה כזו, מונומיאלית מגידול ריבועי (ולכן הנחת האי-התאפסות של הרכיבים ההומוגניים בטענה האחרונה אכן הכרחית).

בנוסף, סמול שאל האם תיתכנה לאלגברה נוצרת סופית, ראשונית מממד 2 הצגות אי-פריקות מממדים סופיים אך לא חסומים. לשאלה זו דוגמה נגדית (מונומיאלית, על ידי Jason Bell ו[[אגטה סמוקטונוביץ'|סמוקטונוביץ']] שגם הוכיחו כי אם הגידול ריבועי אז [[אלגברה מונומיאלית]] אינה יכולה לשמש כדוגמה נגדית עוד).

==לקריאה נוספת==
*G. Krause, T.H. Lenagan Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
[[קטגוריה:אלגברה]]