הצגת המקור של הדף "ממוצע אריתמטי-גאומטרי"

{{סימון מתמטי}}
ב[[אנליזה מתמטית]], ה'''ממוצע האריתמטי-גאומטרי''' של שני מספרים הוא ערך-ביניים המתקבל מהחלפה חוזרת של  המספרים ב[[ממוצע|ממוצע האריתמטי והגאומטרי]] שלהם. התהליך נחקר בתחילה על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז' |לגראנז']] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], ובתחילת [[המאה ה-19]] השתמש בו [[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]] כדי לחשב [[אינטגרל אליפטי|אינטגרלים אליפטיים]].

==הגדרה==
אם <math>a,b</math> הם מספרים (ממשיים) חיוביים, '''הממוצע האריתמטי-גאומטרי''' שלהם הוא ה[[גבול של סדרה|גבול]] המשותף של הסדרות <math>a_n,b_n</math>, המוגדרות ב[[הגדרה רקורסיבית|רקורסיה]] על-פי הנוסחאות:
*<math>a_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}</math> (כל איבר בסדרה זו הוא [[ממוצע גאומטרי]] של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת), 
*<math>b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> (כל איבר בסדרה זו הוא [[ממוצע אריתמטי]] של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),
כאשר <math>a_0=a,b_0=b</math>. מקובל לסמן את הממוצע <math>M(a,b)</math>.

==דוגמה==
כדי למצוא את הממוצע אריתמטי-גאומטרי של <math>a_0=6,b_0=24</math>, נחשב תחילה את הממוצע האריתמטי והממוצע הגאומטרי שלהם:
:<math>\begin{align}a_1&=\sqrt{6\cdot24}=12\\b_1&=\tfrac12(6+24)=15\end{align}</math>
נמשיך בתהליך האיטרציה ונחשב:
:<math>\begin{align}a_2&=\sqrt{12\cdot15}=13.41640786500\ldots\\b_2&=\tfrac12(12+15)=13.5\end{align}</math>
וכן הלאה.

ארבעת הצעדים הראשונים נותנים את הערכים הבאים:

:{| class="wikitable" style=text-align:center
|-
! <math>n</math>
! <math>a_n</math>
! <math>b_n</math>
|-
| 0
| 6
| 24
|-
| 1
| 12
| 15
|-
| 2
| ...13.41640786500
| 13.5
|-
| 3
| ...13.45813903099
| ...13.45820393250
|-
| 4
| ...13.45817148171
| ...13.45817148175
|}
הערכים מתקרבים זה לזה במהירות, וגבולם המשותף הוא הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג המספרים המקוריים.

==תכונות==
=== הממוצע האריתמטי-גאומטרי של מספרים ממשיים ===
קל להוכיח ([[אי-שוויון הממוצעים]]) כי<math>a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n</math> לכל <math>n>0</math>, ואם <math>a<b</math> הממוצע מתכנס לגבול ממשי מסוים, בהתאם ל{{ה|למה של קנטור}}, ומקיים <math>a<M(a,b)<b</math>.

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה <math>M</math> [[פונקציה הומוגנית|הומוגנית]] מסדר 1 (כלומר <math>M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b)</math>); לכן, אם מגדירים <math>f(x)=M(x,1)</math> אפשר לשחזר את <math>M</math> לפי הזהות <math>M(a,b)=b\cdot f\left(\tfrac{a}{b}\right)</math>. בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי <math>M(a,b)=M\left(\sqrt{ab},\frac{a+b}{2}\right)</math>; במילים אחרות <math>f(x) = \frac{x+1}{2}\cdot f\left(\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\right)</math>. 

ב-[[30 במאי]] [[1799]] הבחין גאוס כי הערכים <math>\frac{1}{M(1,\sqrt2)},\frac{2}{\pi}\int\limits_0^1{\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}}</math> מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "[[קבוע גאוס]]"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של [[המאה ה-19]]. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית
:<math>\frac{1}{M(1,x)}=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^{0.5\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-x^2)\sin^2(\theta)}}</math>
ובכך הניח את היסוד לעבודתם של [[נילס הנריק אבל|אבל]] ו[[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] על אינטגרלים של [[פונקציה אלגברית|פונקציות אלגבריות]].

===הממוצע האריתמטי-גאומטרי של מספרים מרוכבים===
בעוד הקשרים שנמצאו בין הממוצע האריתמטי גאומטרי של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] לאינטגרלים אליפטיים הוליכו לפתרון כמה מן הבעיות הקשות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] של [[המאה ה-18]], חקר הממוצע האריתמטי גאומטרי של זוג מספרים <math>(a,b)</math> מ[[שדה המספרים המרוכבים]] הוליך לכמה מההתפתחויות המעמיקות ביותר במתמטיקה של [[המאה ה-19]]. מסתבר שבעבור שני [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], הממוצע האריתמטי גאומטרי הופך ל[[פונקציה רב-ערכית]] (Multi-valued function), המקבלת [[אינסוף]] ערכים עבור כל זוג מספרים שמציבים בה. הסיבה לכך נעוצה בכך שהשורש הריבועי של מכפלת המספרים <math>b_n</math> מקבל שני ערכים בכל פעם, כך שלא מקבלים אפשרות אחת לסדרה <math>(a_n,b_n)</math> אלא דווקא אינסוף הסתעפויות. מתברר שכאשר בוחרים בכל [[איטרציה]] בתור ממוצע גאומטרי את הערך הקרוב יותר לממוצע החשבוני (זו הבחירה ה"נכונה" כביכול), זוג הסדרות מתכנס לאותו ערך כמו במקרה הממשי. על ידי ביצוע מספר סופי של "שגיאות" מכוונות בהוצאת השורש, ניתן לקבל ערכים שונים של <math>M(a,b)</math>. מבין הערכים השונים של <math>M(a,b)</math> ניתן להגדיר ערך מסוים כ"פשוט ביותר", והוא הערך שמתקבל כאשר כל הבחירות נכונות. התוצאה העמוקה הבאה של גאוס קובעת את הקשר בין הערך היסודי (הערך הפשוט ביותר) של הממוצע האריתמטי גאומטרי לכל הערכים האפשריים האחרים שלו:

'''משפט.''' יהיו <math>a,b</math> שני מספרים מרוכבים המקיימים <math>a\ne\pm b</math>, ויהיו <math>\lambda_1,\lambda_2</math> הערכים הפשוטים ביותר של <math>M(a,b),M(a+b,a-b)</math> בהתאמה. אז כל הערכים האפשריים <math>\lambda</math> של <math>M(a,b)</math> ניתנים על ידי הנוסחה:
:<math>\frac{1}{\lambda}=\frac{c_1}{\lambda_1}+\frac{c_2}{\lambda_2}i</math> 
כאשר <math>c_1,c_2</math> הם שני [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] זרים שרירותיים המקיימים <math>c_1\equiv1\,(\!\bmod4),c_2\equiv0\,(\!\bmod4)</math>.

==הוכחה של ההצגה האינטגרלית של גאוס==
ההוכחה שמובאת להלן ניתנה לראשונה על ידי גאוס. יהי ה[[אינטגרל]]:
:<math>I(y,x)=\int\limits_0^{0.5\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2(\theta)+y^2\sin^2(\theta)}}</math>
ההוכחה של גאוס מבוססת על הצבת משתנים גאונית – נחליף את משתנה האינטגרציה <math>\theta</math> במשתנה חדש <math>\theta'</math> שמקיים:
:<math>\sin(\theta)=\frac{2x\sin(\theta')}{(x+y)+(x-y)\sin^2(\theta')}</math>
ונקבל לאחר פישוט אלגברי ארוך ומסובך:
:<math>\begin{align}I(x,y)&=\int\limits_0^{0.5\pi}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac12(x+y)\bigr)^2\cos^2(\theta')+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2(\theta')}}\\&=I\bigl(\tfrac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr)\end{align}</math>
אם נביט בביטוי תחת סימן האינטגרל נשים לב לאנלוגיה בינו לתכונות הממוצע האריתמטי-גאומטרי; הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים שווה לממוצע האריתמטי-גאומטרי של הממוצעים האריתמטיים והגאומטריים שלהם. לפיכך נקבל:
:<math>I(x,y)=I(a_1,g_1)=I(a_2,g_2)=\cdots=I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr)=\frac{\pi}{2M(x,y)}</math>
השוויון האחרון נובע מההבחנה כי <math>I(z,z)=\int\limits_0^{0.5\pi}\!\frac{d\theta}{z}=\frac{\pi}{2z}</math>.

לבסוף, קיבלנו את התוצאה המבוקשת:
:<math>M(x,y)=\frac{\pi}{2I(x,y)}</math>

==ראו גם==
*[[פונקציות תטא]]
*[[אלגוריתם גאוס-לז'נדר]]

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
*J.M. Borwein and P. B. Borwein, '''Pi and the AGM''', 1987.
</div>

==קישורים חיצוניים==
*{{אנציקלופדיה למתמטיקה|Arithmetic-geometric_mean_process}}
*{{MathWorld}}

[[קטגוריה:ממוצעים]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]