הצגת המקור של הדף "מסילה גאודזית"

[[קובץ:Spherical triangle.svg|ממוזער|150px|משולש גיאודטי על ספירה תלת-ממדית. הגאודיזות הן ה[[מעגל גדול|מעגלים הגדולים]] של הספירה.]]

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''מסילה גאודזית''' היא [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] המתארת באופן מקומי את הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב. זוהי הכללה של מושג הקו ה[[ישר]] מ[[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה האוקלידית]] ל[[יריעה|יריעות]] כלליות. למשל, על פני ה[[כדור (גאומטריה)|כדור]], המסילות הגאודזיות הן ה[[מעגל גדול|מעגלים הגדולים]] שה[[רדיוס]] שלהם שווה לרדיוס הכדור. 

על פי [[תורת היחסות הכללית]], גופים שלא פועלים עליהם [[כוח (פיזיקה)|כוח]]ות מלבד [[כוח הכבידה]], נעים בממוצע על פני מסילות גאודזיות ב[[מרחב-זמן]].

אם מוגדרת [[מטריקה]] דיפרנציאלית על המרחב האפיני, למשל באמצעות [[סמל כריסטופל|סמלי כריסטופל]], המסילות הגאודזיות מקיימות את ה[[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואה הדיפרנציאלית]] הנובעת מן העובדה שה[[וקטור משיק|ווקטור המשיק]] שלהן מקביל לעצמו לאחר [[טרנספורט מקבילי]] לאורך העקום. ניתן גם למצוא את ה[[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] הקצרה ביותר בין שתי נקודות ב[[מרחב עקום]] על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי [[חשבון וריאציות]].

==מסילה גאודזית במרחב עקום==

ב[[יריעה רימנית]] עם [[טנזור מטרי]] <math>g</math>, האורך של מסילה גזירה ברציפות <math>\gamma \colon [a,b]\rightarrow M</math> מוגדר על ידי
:<math>L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{ g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) }\,\mathrm{d}t.</math>
המרחק <math>d(p,q)</math> בין שתי נקודות <math>p,q</math> ב-<math>M</math> מוגדר כ[[אינפימום]] של כל אורכי המסילות האפשריות הגזירות ברציפות למקוטעין <math>\gamma \colon [a,b]\rightarrow M</math> כך ש-<math>\gamma(a)=p</math> ו-<math>\gamma(b)=q</math>.

==משוואת המסילה הגאודזית==

במרחב בעל [[טרנספורט מקבילי]], הטרנספורט המקבילי של וקטור משיק לאורך המסילה הגאודזית אינו משנה אותו:
<center><math>\nabla_u u=0</math>
</center>
כאשר <math>u=\frac{\partial}{\partial \tau}</math> והעקומה היא <math>x^j(\tau )</math>.

בהטלה למערכת צירים נקבל:
<center><math>\frac{\partial^2 x^j}{\partial \tau^2}+{\Gamma_i}_k^{\! j}
\frac{\partial x^i}{\partial \tau} \frac{\partial x^k}{\partial \tau}=0

</math></center>
כאשר <math>e_j</math> הם ווקטורי הבסיס, ו-<math>{\Gamma_i}_k^{\! j}</math> הם [[סמל כריסטופל|סמלי כריסטופל]].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:תורת היחסות הכללית]]