הצגת המקור של הדף "מסנן (מתמטיקה)"

{{חומר רקע|
*[[סדר חלקי]]}}
{{פירוש נוסף|נוכחי=מבנה מתמטי על קבוצה סדורה|אחר=משפחה של תתי-קבוצות הסגורה לחיתוך ולהכלה מלמעלה|ראו=מסנן (תורת הקבוצות)}}
ב[[מתמטיקה]], '''מסנן''' הוא [[תת-קבוצה]] של קבוצה סדורה ב[[סדר חלקי|יחס סדר חלקי]] אשר מקיימת תנאים מסוימים (ראו [[# הגדרה מתמטית|להלן]]). למסננים חשיבות רבה בתחומים רבים במתמטיקה כגון [[תורת הקבוצות]], [[טופולוגיה]] ו[[לוגיקה]].

== הגדרה מתמטית ==
בהינתן קבוצה <math>X</math> ועליה יחס סדר חלקי <math>\le</math>, הקבוצה <math>F\subseteq X</math> תקרא '''מסנן על <math>X</math>''' [[אם ורק אם]] היא מקיימת את התכונות הבאות:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Filter|כותרת=Filter - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2025-01-01}}</ref>

# <math>F</math> אינה [[קבוצה ריקה|ריקה]]. כלומר, <math>F\ne \emptyset</math>.
# '''כיווניות כלפי מטה''': לכל <math>a,b\in F</math> קיים <math>c\in F</math> כך ש-<math>c\le a</math> וגם <math>c\le b</math>
# '''סגירות כלפי מעלה''': לכל <math>a\in F</math> ולכל <math>b\in X</math> המקיים <math>a \le b</math>, מתקיים בהכרח ש-<math>b\in F</math>

== סוגי מסננים ==
=== מסנן טריוויאלי ומסנן אמיתי ===
ניתן להיווכח כי <math>X</math> עצמו הוא מסנן על <math>X</math>. מסנן זה נקרא '''המסנן הטריוויאלי של <math>X</math>'''. אם <math>F</math> הוא מסנן על <math>X</math> שאיננו המסנן הטריוויאלי, <math>F</math> יקרא '''מסנן אמיתי על <math>X</math>'''.

=== מסנן ראשי ===
בהינתן קבוצה סדורה <math>(X,\le)</math> ואיבר כלשהו <math>c\in X</math>, מגדירים את '''המסנן הראשי של <math>c</math>''' באופן הבא:

<math>F_c:=\left\{x\in X\mid c\le x\right\}</math>

כלומר, <math>F_c</math> הוא אוסף כל האיברים שגדולים מ-<math>c</math>. ניתן להוכיח כי זהו מסנן.

קבוצה <math>F\subseteq X</math> תקרא '''מסנן ראשי''' אם ורק אם קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>F=F_c</math>. ניתן להוכיח כי מסנן הוא מסנן ראשי אם ורק אם יש לו [[איבר מינימלי]]. על כן, אם קבוצה סדורה ב[[יחס סדר טוב]], אז כל מסנן בה הוא מסנן ראשי.

=== על-מסנן ===
בהינתן קבוצה סדורה <math>(X,\le)</math> ומסנן <math>F\subseteq X</math>, <math>F</math> יקרא '''על-מסנן''' אם ורק אם הוא מסנן מקסימלי שאיננו טריוויאלי. כלומר, לא קיים מסנן אחר <math>F'</math> כך ש-<math>F\subset F'\subset X</math>.

'''[[משפט העל-מסננים]]''' קובע כי כל מסנן אמיתי מוכל בעל-מסנן. כלומר, לכל מסנן כלשהו <math>F\subset X</math> קיים על-מסנן <math>U</math> כך ש-<math>F\subseteq U \subset X</math>, כאשר <math>F=U</math> אם ורק אם <math>F</math> בעצמה על-מסנן. הוכחת המשפט מתבצעת באמצעות [[הלמה של צורן]].

== שימושים ==
=== תורת הקבוצות ===
{{הפניה לערך מורחב|מסנן (תורת הקבוצות)}}
שימוש מרכזי של מסננים בתורת הקבוצות הוא במסננים לפי יחס ההכלה. בהינתן קבוצה כלשהי <math>X</math>, מסנן במובנים של תורת הקבוצות הוא משפחה <math>\mathcal{F}</math> של תת-קבוצות של <math>X</math> שמהווה מסנן על <math>\mathcal{P}(X)</math> (קבוצת כל תת-הקבוצות של <math>X</math>) לפי יחס ההכלה <math>\subseteq</math>. מסנן <math>\mathcal{F}</math> זה יקרא '''מסנן קבוצתי על <math>X</math>'''. כאשר ברור מן ההקשר שהמסנן הוא מסנן קבוצתי, ניתן לקרוא לו פשוט '''מסנן על <math>X</math>''', זאת למרות שהוא הלכה-למעשה מסנן על <math>\mathcal{P}(X)</math>.

עבור מסננים קבוצתיים, ניתן להמיר את האקסיומות של מסננים כללים באקסיומות הבאות:

# <math>\mathcal{F}\ne \emptyset</math>.
# לכל <math>A,B\in \mathcal{F}</math> מתקיים ש-<math>A\cap B\in \mathcal{F}</math>
# לכל <math>A\in \mathcal{F}</math> ולכל <math>A\subseteq B\subseteq X</math>, מתקיים בהכרח ש-<math>B\in \mathcal{F}</math>

מתכונות אלו נובע בהכרח כי <math>X</math> עצמו הוא איבר של <math>\mathcal{F}</math>. למסננים קבוצתיים לרוב דורשים בנוסף כי <math>\emptyset\notin\mathcal{F}</math>, אחרת <math>\mathcal{F}</math> הוא המסנן הטריוויאלי.

דוגמה חשובה למסנן מתחום תורת הקבוצות הוא המסנן הקו-סופי שנקרא גם [[מסנן פרשה]] על שם המתמטיקאי [[רנה מוריס פרשה]]. בהינתן קבוצה <math>X</math> מ[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] [[אינסוף|אינסופית]], מסנן פרשה מוגדר כך: <math>\mathcal{F}:=\left\{A\subseteq X\mid X\backslash A\text{ is finite}\right\}</math>. כלומר, <math>\mathcal{F}</math> הוא אוסף כל תתי-הקבוצות של <math>X</math> שה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] שלהם הוא ממידה סופית. מסנן זה הוא מסנן אמיתי שאיננו מסנן ראשי.

=== טופולוגיה ===
למסננים יש מספר שימושים בטופולוגיה. עבור [[מרחב טופולוגי]] <math>(X,\tau)</math> ונקודה <math>x\in X</math>, [[מערכת סביבות|מערכת הסביבות]] של <math>x</math> המסומנת ב-<math>\mathcal{N}(x)</math> היא מסנן קבוצתי.

מסננים קבוצתיים יכולים לשמש כאמצעי חלופי להגדרת מושג ה[[התכנסות (מתמטיקה)|התכנסות]] במרחבים טופולוגיים. מגדירים כי מסנן <math>\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)</math> מתכנס לנקודה <math>x\in X</math> אם ורק אם <math>\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{F}</math>. כלומר, אם <math>\mathcal{F}</math> מכילה את כל ה[[סביבה (מתמטיקה)|סביבות]] של <math>x</math>, היא מתכנסת ל-<math>x</math>. ניתן להוכיח כי אם המרחב הוא [[מרחב האוסדורף]], אז כל מסנן מתכנס לכל היותר לנקודה אחת.

שימוש נוסף במסננים בטופולוגיה הוא בהגדרה של [[מרחב אחיד]] על-ידי [[כיסוי אחיד]]. בהינתן זוג [[כיסוי (טופולוגיה)|כיסוי]]<nowiki/>ים של <math>X</math> המסומנים ב-<math>\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2</math>\ אומרים כי '''<math>\mathcal{C}_2</math> הוא [[עידון-כוכב]] של <math>\mathcal{C}_1</math>''' ומסמנים <math>\mathcal{C}_2\le^* \mathcal{C}_1</math>, אם ורק אם לכל <math>U\in \mathcal{C}_2</math> קיים <math>V\in \mathcal{C}_1</math> כך שלכל <math>U'\in \mathcal{C}_2</math> המקיים <math>U\cap U'\ne \emptyset</math>, מתקיים ש-<math>U'\subseteq V</math>. במילים אחרות, לכל קבוצה מהכיסוי <math>\mathcal{C}_2</math> יש קבוצה ב-<math>\mathcal{C}_1</math> שמכילה את כל הקבוצות מהכיסוי <math>\mathcal{C}_2</math> ש"נוגעות בה". אוסף כיסויים של <math>X</math> ייקרא '''כיסוי אחיד''' אם ורק אם הוא מסנן ביחס ל-<math>\le^*</math>. כיסוי אחיד מגדיר באופן חד-חד ערכי מרחב אחיד על <math>X</math>.

=== לוגיקה ===
השימוש העיקרי של מסננים בלוגיקה הוא על-ידי [[על-מכפלה|על-מכפלות]].

בהינתן קבוצת אינדקסים <math>I</math>, מגדירים לכל אינדקס <math>i\in I</math> קבוצה <math>A_i</math>. בנוסף מגדירים מסנן קבוצתי <math>\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(I)</math> על אינדקסים אלו. כעת מגדירים יחס שקילות <math>\sim</math> על המכפלה הקרטזית <math>\prod_{i\in I}{A_i}</math> כך שלכל <math>a,b\in \prod_{i\in I}{A_i}</math> מתקיים ש-<math>a\sim b</math> אם ורק אם <math>\left\{i\in I\mid a_i=b_i\right\}\in \mathcal{F}</math>. מרחב המנה <math>\prod_{i\in I}{A_i}</math> על לפי יחס שקילות זה מסומן ב-<math>\prod_{i\in I}{A_i}/ \mathcal{F}</math> ונקרא '''על-מכפלה'''.

משפט מרכזי בלוגיקה הוא '''[[משפט לוס]]''' שנקרא גם '''[[המשפט היסודי של העל-מכפלות]]''' שקובע כי בהינתן על-מכפלה של מודלי [[שפה מסדר ראשון]], נוסחה נכונה עבור העל-מכפלה אם ורק אם קבוצת האינדקסים שבה הנוסחה נכונה עבור מודלי השפה שמרכיבים את העל מכפלה היא קבוצה מתוך המסנן.

== קשר לאידיאלים בחוג הפונקציות על הקבוצה ==
{{להשלים|נושא=מדע וטכנולוגיה}}
== דוגמאות נוספות ==
* בהינתן [[מרחב מידה]] <math>(X,\Omega,\mu)</math>, הקבוצה <math>\mathcal{F}:=\left\{A\in \Omega\mid \mu(X \backslash A)=0\right\}</math> היא מסנן קבוצתי על <math>X</math>.
* בהינתן מרחב ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]] ה[[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]] <math>C(\mathbb{R})</math>, ניתן להגדיר יחס סדר חלקי <math>\le</math> כך ש-<math>f\le g</math> אם ורק אם <math>f(x)\le g(x)</math> לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (כלומר, אי-שוויון נקודה-נקודה). מגדירים את הקבוצה <math>\mathcal{F}:=\left\{f\in C(\mathbb{R})\mid \lim_{x\to\infty}{f(x)}=\infty\right\}</math>. ניתן להוכיח כי <math>\mathcal{F}</math> הוא מסנן על <math>C(\mathbb{R})</math> לפי <math>\le</math>.

== ראו גם ==
* [[מסנן (תורת הקבוצות)]]
* [[מערכת סביבות]]
* [[על-מכפלה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]