הצגת המקור של הדף "מסנן (תורת הקבוצות)"

<!-- על פי רשימות של ד"ר שמואל דהרי -->{{פירוש נוסף|נוכחי=מסננים על תתי-קבוצות לפי יחס ההכלה|אחר=מסננים כללים לפי [[יחס סדר חלקי]] כלשהו|ראו=מסנן (מתמטיקה)}}

ב[[תורת הקבוצות]], '''מסנן''' מעל [[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]] X הוא: משפחה לא ריקה של תת-קבוצות של X, ה[[סגירות (אלגברה)|סגורה]] להגדלה ול[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] סופי, ואינה כוללת את [[הקבוצה הריקה]]. למסננים שימושים רבים בתורת הקבוצות המודרנית, לרבות [[לוגיקה מתמטית]] ו[[אלגברה בוליאנית]], וב[[טופולוגיה]] (דרך [[קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך]]).

== מבוא ==

=== הגדרות ===

תהי <math>X</math> קבוצה. משפחה <math>\ \mathcal{F} \subset P(X)</math>, שאינה ריקה ואינה כוללת את הקבוצה הריקה, נקראת '''מסנן''', כאשר לכל <math>\ A \in \mathcal{F}</math> כל B המקיים <math>\ A \subset B\in P(X)</math> מקיים גם <math>\ B \in \mathcal{F}</math>, ולכל <math>\ A_1, A_2 \in \mathcal{F}</math> מתקיים <math>\ A_1 \cap A_2 \in \mathcal{F}</math>. 

'''דוגמאות'''. 
# הדרך הקלה ביותר לבנות מסנן היא לקחת את כל הקבוצות המכילות קבוצה קבועה. מסנן כזה נקרא '''מסנן ראשי'''. במובנים רבים המסננים הראשיים הם [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאליים]]. 
# אוסף ה[[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] של נקודה ב[[מרחב טופולוגי]] הוא מסנן. 
# כאשר  <math>X</math> [[קבוצה אינסופית]], אוסף הקבוצות שהמשלים להן סופי הוא '''המסנן הקו-סופי''' או '''מסנן פרשה''' (על-שם [[מוריס פרשה]], אחד ממייסדי ה[[טופולוגיה]]). באופן כללי יותר אפשר להגדיר את המסנן הקו-<math>\lambda</math>, לכל [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] <math>\ \lambda<|X|</math>.
כל אוסף תת-קבוצות <math>S</math> המקיים את [[תכונת החיתוך הסופי]] יוצר מסנן: אברי המסנן הם הקבוצות המכילות חיתוך סופי כלשהו מ-<math>S</math>.

=== על-מסננים ===

מסנן מקסימלי, כלומר, כזה שאינו מוכל באף מסנן גדול יותר, נקרא '''על-מסנן''' (ultrafilter). עבור כל קבוצה <math>\ A \subset X</math>, על-מסנן מוכרח להכיל את A או את המשלים <math>\ X-A</math>. על-מסנן המכיל [[קבוצה סופית]] מכיל גם [[יחידון]], ולכן הוא ראשי. על-מסנן שאינו ראשי מוכרח להכיל את המסנן הקו-סופי.

מסנן שחיתוך כל הקבוצות בו הוא ריק, נקרא '''מסנן חופשי'''; לדוגמה, המסנן הקו-סופי הוא כזה. מסנן חופשי אינו יכול להיות ראשי. מסנן הסביבות של נקודה ב[[מרחב T1]] [[מרחב קשיר|קשיר]] אינו חופשי, וגם אינו ראשי. לעומת זאת, על-מסנן הוא חופשי [[אם ורק אם]] אינו ראשי.

האיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. לפי [[הלמה של צורן]], נובע מכך שכל מסנן מוכל בעל-מסנן. תוצאה זו נקראת '''משפט העל-מסנן''', ובעזרת מסנן פרשה נובע ממנה שיש על-מסננים לא ראשיים.

=== ניסוח במונחי אלגברה בוליאנית ===

לכל קבוצה X, [[קבוצת החזקה]] <math>\ P(X)</math> היא [[אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)|אלגברה בוליאנית]]; זהו [[חוג קומוטטיבי]], ביחס לפעולות ה[[הפרש סימטרי|הפרש הסימטרי]] כחיבור, וה[[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] ככפל. באלגברה הזו, [[אידיאל (תורת החוגים)|אידיאל]] הוא משפחה של תת-קבוצות, הסגורה להקטנה ולאיחוד סופי. מכאן ש<math>\ \mathcal{F} \subset P(X)</math> הוא מסנן, אם ורק אם אוסף המשלימים <math>\ \mathcal{F}^c = \{A^c : A\in \mathcal{F}\}</math> הוא אידיאל. המסנן ראשי אם ורק אם האידיאל המתאים לו ראשי, והוא על-מסנן אם ורק אם האידיאל המתאים לו הוא [[אידיאל מקסימלי]].

===בסיס===
קבוצה <math>\ B \subset P(X)</math> תיקרא '''בסיס''' למסנן <math>\ \mathcal{F}</math> אם היא סגורה לחיתוכים סופיים ולכל  <math>\ f \in \mathcal{F} </math>  יש <math>\ b \in B</math> כך ש-<math>\ b \subset f</math>. (מסנן כזה, אם קיים, הוא יחיד) באופן שקול, <math>\ \mathcal{F} </math> הוא המסנן הקטן ביותר שמכיל את B.

קבוצה B יכולה להיות בסיס למסנן אם ורק אם היא לא ריקה, לא מכילה את הקבוצה הריקה ולכל <math>\ b1, b2 \in B</math> יש <math>\ b \in B</math> כך ש-<math>\ b \subset b1 \cap b2</math>.

== מסננים מיוחדים ==

תורת הקבוצות המודרנית עוסקת רבות במסננים על קבוצת [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]]. לצורך ההגדרות בהמשך, מסמנים (עבור קבוצות של מספרים טבעיים) <math>A \subseteq^* B</math> אם ההפרש B-A סופי, ו-<math>A =^* B</math> אם <math>A \subseteq^* B \subseteq^*A </math>. מסנן <math>\mathcal{F}</math> המקיים את התכונות השקולות הבאות נקרא '''נקודת-P''': 
# כל שרשרת יורדת ב-<math>\mathcal{F}</math> (לגבי היחס <math>\subseteq^*</math>), חסומה מלרע שם (לגבי אותו יחס).
# לכל פירוק <math>\mathbb{N} = P_1 \cup P_2 \cup \cdots</math> לקבוצות אינסופיות, או שאחד החלקים <math>P_i</math> שייך למסנן, או שיש במסנן קבוצה X שהחיתוך שלה עם כל חלק הוא סופי.
# לכל פירוק <math>\mathbb{N} = P_1 \cup P_2 \cup \cdots</math> לקבוצות אינסופיות, המסנן <math>\mathcal{F}</math> אינו מכיל את המסנן <math>\mathcal{F}(P)</math> (שהוא, לפי ההגדרה, המסנן הנוצר על ידי הקבוצות <math> \bigcup_{i>n} (P_i-\{0,1,\dots,f(i)\})</math>, כאשר n מספר כלשהו ו-f פונקציה כלשהי.

מ[[השערת הרצף]], או אפילו מההנחה החלשה יותר <math>\mathfrak{b}=\mathfrak{c}</math>, נובע שיש נקודות-P.

הגדרה זו מוליכה ל"היררכיית-P" בת <math>\omega_1</math> שכבות (שיש גם מסננים מעליה). המסננים הראשיים שייכים לשכבה הראשונה <math>\mathcal{P}_1</math>, ואלו שהם נקודות-P לשכבה <math>\mathcal{P}_2</math>. ידוע שאם יש מסננים בשכבה כלשהי של ההיררכיה (מעבר לשכבת המסננים הראשיים; למשל, אם יש נקודות-P), אז יש מסננים בכל שכבה של ההיררכיה. 

== על-מכפלות ==
{{ערך מורחב|ערך=[[על מכפלה (תורת המודלים)|על מכפלה]]}}
נקבע מסנן <math>\ \mathcal{F}</math> מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל <math>\ i \in X</math> יש קבוצה <math>\ A_i</math>, אפשר להגדיר [[יחס שקילות]] על ה[[מכפלה קרטזית]] בהתאם למסנן: <math>\ (a_i) \sim (b_i)</math> אם אוסף האינדקסים שעבורם <math>\ a_i = b_i</math> שייך ל-<math>\ \mathcal{F}</math>. במילים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה <math>\ \prod A_i / \mathcal{F}</math> נקרא "מכפלה מצומצמת". אם <math>\ \mathcal{F}</math> על-מסנן, זוהי ה'''על-מכפלה''' של הקבוצות <math>\ A_i</math>. 

המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של [[שפה מסדר ראשון]] L, מקיימת [[פסוק (לוגיקה מתמטית)|פסוק]] של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית ב[[תורת המודלים]]. לדוגמה, לא רק שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] היא שדה -- גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה <math>\ i \in X</math> את אותו מודל <math>\ A_i = A</math>, מתקבלת '''על-חזקה''' <math>\ A^X/\mathcal{F}</math>, והיא [[שקילות אלמנטרית|שקולה אלמנטרית]] ל-A. 

מן המשפט היסודי מתקבלת בנייה מפורשת עבור [[משפט הקומפקטיות]]: אם T [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] ספיקה-סופית בשפה מסדר ראשון L (כלומר, יש [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] לכל תת-קבוצה סופית של פסוקים מתוכה), ו-X קבוצת תת-הקבוצות הסופיות של T עם מודלים <math>\ M_i</math> לכל קבוצה סופית <math>\ i\in X</math>, אז קיים על-מסנן <math>\ \mathcal{F}</math> על X כך ש- <math>\ \prod_{i \in X} M_i / \mathcal{F}</math> הוא מודל לתורה T. ה[[הוכחה]] אינה קונסטרוקטיבית, משום שהיא נסמכת על הקיום של על-מסננים המכילים את המסנן הקו-סופי, וזו תוצאה של גרסה חלשה של [[אקסיומת הבחירה]]. 

==ראו גם==
* [[מסנן (מתמטיקה)]]
* [[מערכת סביבות]]
* [[על-מכפלה]]
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|Filter}}

[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]