הצגת המקור של הדף "מסנן Raised cosine"

'''[[מסנן (אלקטרוניקה)|מסנן]] Raised cosine''' הוא [[מסנן (עיבוד אותות)|מסנן]] {{אנ|Filter_(signal_processing)}} בשימוש תדיר בעיצוב [[פולס]]ים בתקשורת דיגיטלית עקב יכולתו למזער את תופעת [[הפרעה בין סימנים|הפרעה-בין-סימנים]] (Intersymbol Interference). שמו של המסנן נובע מהעובדה כי החלק הלא מאופס שלו ב[[ספקטרום]] בצורתו הפשוטה ביותר (<math>\beta = 1</math>) היא פונקציית [[פונקציות טריגונומטריות|קוסינוס]], 'מורמת' לשבת מעל ציר התדר (<math>f</math> האופקי).

== תיאור מתמטי ==
[[קובץ:Raised-cosine_filter.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים|תגובת התדר של המסנן, עם מקדמי Roll-off שונים.]]
[[קובץ:Raised-cosine-impulse.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים|תגובה להלם של המסנן עם מקדמי Roll-off שונים.]]
[[מסנן (אלקטרוניקה)|מסנן]] raised-cosine הוא יישום של [[מסנן נייקוויסט]] {{אנ|Nyquist filter}} מעביר נמוכים. משמעות הדבר שה[[ספקטרום]] שלו אי-זוגי סביב <math>\frac{1}{2T}</math>, כאשר <math>T</math> מסמל את קבוע הזמן של מערכת התקשורת (אורך הסימבול). הייצוג שלו בציר התדר נתון על ידי פונקציה מחולקת:
: <math>H(f) = \begin{cases}
 T,
 & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
 & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
 & \mbox{otherwise}
\end{cases}</math>

לכל <math>0 \leq \beta \leq 1</math>

והוא מאופיין על ידי שני ערכים; <math>\beta</math>, פקטור ''roll-off'', ו-<math>T</math>, זמן סימבול.

ה[[תגובה להלם]] של מסנן כזה נתונה על ידי:
: <math>h(t) = \begin{cases}
\frac{\pi}{4}\;\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right),
 & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\
\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2},
 & \mbox{otherwise}
\end{cases}</math>
במונחים של פונקציית [[sinc]] מנורמלת.

=== פקטור Roll-off ===
פקטור ה-Roll off, <math>\beta</math>, הוא אמצעי מדידה של "[[רוחב פס]] עודף" של [[מסנן (אלקטרוניקה)|המסנן]], כלומר [[רוחב סרט|רוחב הפס]] התפוס מעבר לתדר נייקוויסט שהוא <math>\frac{1}{2T}</math>. יש מחברים המשתמשים בסימון <math>\alpha=\beta</math>.

אם רוחב הפס העודף מסומן כ-<math>\Delta f</math> אז:
: <math>\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f</math>
כאשר <math>R_S = \frac{1}{T}</math> הוא קצב הסימבול.

הגרף מראה את תגובת המשרעת ככל ש-<math>\beta</math> נע בין 0 ל-1, ואת התגובה המקבילה ב[[תגובה להלם]]. כפי שניתן לראות, בתחום הזמן, ככל ש-<math>\beta</math> קטן, כך הגליות בתחום הזמן גדלה. זה מראה כי עודף רוחב הפס של מסנן יכול להיות מופחת, אבל רק על חשבון תגובה להלם מוארכת.

==== מקרה בוחן ראשון: β = 0 ====
ככל ש-<math>\beta</math> שואף ל-0, אזור ה-Roll-off הופך להיות צר יותר ולכן:
: <math>\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)</math>
כאשר <math>\mathrm{rect}(.)</math> היא [[פונקציית המלבן]], אז תגובת התדר מתקרבת ל־<math>\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)</math>. לפיכך, הוא ישאף למסנן מלבני אידיאלי במקרה זה.

==== מקרה בוחן שני: β = 1 ====
כאשר <math>\beta = 1</math>, החלק שאינו אפס של הספקטרום הוא raised-cosine טהור (קוסינוס מורם), המוביל לפישוט:
: <math>H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
 & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
 & \mbox{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>

=== רוחב פס ===
רוחב הפס של המסנן, מוגדר לרוב על ידי רוחב האזור הלא-מאופס של הספקטרום, כלומר:
: <math>BW = R_S(\beta+1)</math>

== יישום ==
[[קובץ:Raised-cosine-ISI.svg|ממוזער|500x500 פיקסלים|מספר תגובות הלם של המסנן, המדגימות אפס תופעות ISI (בכפולות של T)]]
כאשר נעשה שימוש כדי לסנן זרם סימבולים, למסנן נייקוויסט יש תכונה של ביטול [[הפרעה בין סימנים]] (ISI), מפני שתגובתו להלם היא אפס לכל <math>nT</math> (כאשר <math>n</math> הוא מספר טבעי), פרט ל־<math>n = 0</math>.

לכן, אם הגל המועבר נדגם כראוי במקלט, הסימבול המקורי יכול להיות משוחזר בשלמותו.

[[קטגוריה:עיבוד אותות]]