הצגת המקור של הדף "מספרי לוקאס"

ב[[מתמטיקה]], '''מספרי לוקאס''' הם [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] הקרויה על שמו של ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתי]] [[אדוארד לוקאס]] ([[1842]]-[[1891]]). הגדרתה דומה לזו של [[סדרת פיבונאצ'י]]: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו. היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם [[2 (מספר)|2]] ו-[[1 (מספר)|1]] בהתאמה. זהו מקרה פרטי של [[סדרת לוקאס]].

תחילת הסדרה היא:
...[[2 (מספר)|2]],[[1 (מספר)|1]],[[3 (מספר)|3]],[[4 (מספר)|4]],[[7 (מספר)|7]],[[11 (מספר)|11]],[[18 (מספר)|18]],[[29 (מספר)|29]],[[47 (מספר)|47]],76

ה[[הגדרה רקורסיבית|הגדרה הרקורסיבית]] של הסדרה היא:
:<math> 
  L_n :=
  \begin{cases}
    2             & \mbox{if } n = 0; \\
    1             & \mbox{if } n = 1; \\
    L_{n-1}+L_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}
 </math>

==מאפיינים==
כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי [[סדרה הנדסית|סדרות הנדסיות]] (כאשר <math>\ \phi</math> הוא [[יחס הזהב]]):
:<math>L_n =\phi^n + (1-\phi)^{n} = \phi^n + (- \phi)^{- n}=  \left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, </math>

מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות [[עיגול (אריתמטיקה)|עיגול]] חזקות של יחס הזהב:
:<math>L_n = \mathrm{round}(\phi^n)</math>

כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:
 
<math>\,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}</math>

לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.

==ראו גם==
* [[סדרת פיבונאצ'י]]
* [[סדרת פל|סדרת פֶּל]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{OEIS|A000032|סדרת מספרי לוקאס}}

[[קטגוריה:סדרות של שלמים|לוקאס]]
[[קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י]]