הצגת המקור של הדף "מספר הופכי"

'''מספר הופכי''' (לעיתים נקרא '''הופכי כפלי''') ל[[מספר]] נתון הוא מספר ש[[כפל|מכפלתו]] במספר הנתון שווה ל-[[1 (מספר)|1]] ([[איבר יחידה|איבר היחידה]] ביחס לכפל). לדוגמה: המספר ההופכי של 3 הוא <math>{1\over 3}</math>, והמספר ההופכי של <math>{1\over 3}</math> הוא 3. היחס "הופכי של" הוא [[יחס סימטרי]], ולכן ניתן לדבר על זוג מספרים הופכיים, שהם זוג מספרים שכל אחד מהם הוא ההופכי של משנהו. ב[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] (ובכל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) קיים הופכי כפלי לכל מספר למעט המספר 0 (אפס).

מסמנים את המספר ההופכי ל-x כך:

<math>x^{-1}={1\over x}</math>

הופכי קיים לא רק בכפל רגיל, אלא גם ב[[חשבון מודולרי]] כאשר בסיס המודול הוא [[מספר ראשוני]]. וזאת משום שבמקרה זה המודול הוא שדה. למשל, בחשבון מודולו 7, ההופכי של 3 הוא 5 (כי 15 שקול ל-1 מודולו 7). הופכי כזה נקרא [[הופכי כפלי מודולרי]].

==תכונות של מספרים הופכיים==
* לכל מספר מלבד [[0 (מספר)|0]] קיים מספר הופכי אחד ויחיד.
* 1 הוא ההופכי של 1. כל מספר חיובי גדול מ-1 הוא הופכי למספר קטן מ-1 וגדול מ-0.
* ההופכי להופכי של מספר נתון – הוא המספר הנתון עצמו.

הסיבה של-0 אין הופכי היא שכפל של כל מספר באפס הוא אפס (זה נובע מהתכונה שאפס נייטרלי לחיבור, כלומר שכל מספר ועוד אפס שווה לעצמו), ועל כן לא קיים מספר שמכפלתו ב-0 תיתן 1.

==איבר הופכי==
ב[[מבנה אלגברי]] כלשהו, ובפרט ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] בה הפעולה הבינארית היא כפל, ההכללה של המושג מספר הופכי היא  '''[[איבר הופכי]]''': לכל איבר במבנה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.

גם במבנה הנקרא [[חוג (אלגברה)|חוג]], לכל איבר, פרט ל[[איבר האפס]], יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג [[קומוטטיבי]], שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי כפלי, נקרא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

==ראו גם==
* [[מספר נגדי]]
* [[יחס הפוך]]
* [[הופכי כפלי מודולרי]]
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=מספר הפכי}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:חילוק]]