הצגת המקור של הדף "מספר לבג"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[טופולוגיה]], '''מספר לֶבֶּג''' של [[כיסוי פתוח]] של קבוצה ב[[מרחב מטרי]], הוא המספר δ הגדול ביותר שכל תת-קבוצה שלה ש[[קוטר]]ה קטן ממנו, [[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכלת]] באחד ממרכיבי הכיסוי. לפי '''הלמה של לבג''', לכל כיסוי פתוח של [[קבוצה קומפקטית]] יש מספר לבג חיובי ממש. את הלמה הוכיח ה[[מתמטיקה|מתמטיקאי]] [[אנרי לבג]].

==הוכחה==
תהא <math>X</math> קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא <math>\mathcal A</math> כיסוי פתוח של <math>\,X</math>. מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו ב-<math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal A</math>. לכל <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, נגדיר <math>\, C_i := X \setminus A_i</math>; אלו [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]. נגדיר פונקציה <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> לפי הנוסחה <math>\, f(x) := \max_i d(x,C_i)</math> (כאן d מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0).

כיוון ש-<math>\mathcal A</math> הוא כיסוי, לכל נקודה <math>x \in X</math> יש אינדקס '''i''' כך ש <math>x \in A_i</math>. כיוון ש<math>A_i</math> [[קבוצה פתוחה]], הרי שקיים ε > 0 כך שה־[[סביבה (מתמטיקה)|ε-סביבה]] של <math>x</math> מוכלת ב <math>A_i</math>, ואז <math>\ f(x) \geq d(x,C_i) \ge \epsilon > 0</math>. בפרט, הפונקציה <math>\,f(x)</math> לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם [[חסם (מתמטיקה)|מינימום]]. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]