הצגת המקור של הדף "מספר ממשי"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''מספר ממשי''' הוא כל [[מספר]] [[מספר רציונלי|רציונלי]] או [[מספר אי-רציונלי|אי רציונלי]] במערכת המספרים, כגון <math>\ 3, -4.1, \tfrac{1}{3}</math>או <math>\ 2\pi</math>. בעזרת מספרים ממשיים ניתן למדוד גדלים רציפים, כגון טמפרטורה, מרחק, וכו'.

ניתן לראות את המספרים הממשיים החיוביים כ[[אורך|אורכים]] של [[קטע]]ים על [[ישר]] [[אינסוף|אינסופי]] (הקרוי, לפיכך, [[הישר הממשי]]). לכל מספר חיובי מתאים גם [[מספר שלילי]] באותו גודל, המודד את אותו קטע בכיוון ההפוך.

קיימת התאמה בין [[הישר הממשי]] למספרים הממשיים, כך שכל מספר ממשי מייצג נקודה אחת ויחידה על הישר הממשי וכל נקודה על הישר הממשי מייצגת מספר ממשי אחד ויחיד.

[[קובץ:Number-line.gif|מרכז|ממוזער|400px|ניתן למקם כל מספר ממשי על [[הישר הממשי]]]]

על המספרים הממשיים ניתן להגדיר פעולות [[חיבור]] ו[[כפל]] שהופכות אותם ל[[מבנה אלגברי]] הקרוי [[שדה (מתמטיקה)|שדה]]. שדה זה נקרא [[שדה המספרים הממשיים]] ומסומן על ידי <math>\mathbb {R}</math>. בנוסף, מוגדר על הממשיים [[יחס סדר]] טבעי לפי מיקומם על הישר הממשי. שתי תכונות אלו יחדיו הופכות את [[שדה המספרים הממשיים|קבוצת המספרים הממשיים]] ל[[שדה סדור שלם]].

בעזרתם של המספרים הממשיים מוגדרים מושגים יסודיים במתמטיקה בכלל וב[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] בפרט, כגון: [[גבול של פונקציה|גבול]], [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]], [[אינטגרל]], [[חסם עליון]] ו[[נגזרת]].

[[קובץ:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|ממוזער|150px|השם "מספר ממשי" ניתן למספרים אלה במאה ה-17 על ידי ה[[פילוסופיה|פילוסוף]] וה[[מתמטיקה|מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[רנה דקארט]].]]

==היסטוריה והתפתחות==
התפיסה לפיה קיימות נקודות רבות בין מספרים רציונליים, כמו [[השורש הריבועי של 2]], הייתה מוכרת היטב ל[[יוון העתיקה|יוונים הקדמונים]]. קיומו של ישר מספרים רציף נחשב מובן מאליו, אך טבעה של המשכיות זו, הנקראת כיום [[מרחב מטרי שלם|שלמות]], לא הובן. המתודולוגיה הריגורוזית שפותחה עבור ה[[גאומטריה]] לא עברה למושג המספרים עד למאה ה-19.

עבור מתמטיקאים יוונים, מספרים היו רק [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]]. מספרים ממשיים נקראו "פרופורציות", שהם היחסים של שני אורכים, כלומר, מידות של אורך במונחים של אורך אחר, הנקרא יחידת אורך. שני אורכים הם "ניתנים להשוואה", אם יש יחידה שבה שניהם נמדדים במספרים שלמים, כלומר, בטרמינולוגיה המודרנית, אם היחס שלהם הוא [[מספר רציונלי]]. [[אאודוקסוס מקנידוס]] (בערך 390-340 לפנה"ס) סיפק הגדרה לשוויון של שתי פרופורציות אי-רציונליות באופן הדומה ל[[חתכי דדקינד]] (שהוכנסו יותר מ-2,000 שנים מאוחר יותר). ניתן לראות זאת כהגדרה הראשונה של המספרים הממשיים.

[[ימי הביניים]] הביאו את קבלתם של [[0 (מספר)|אפס]], [[מספרים חיוביים ושליליים|מספרים שליליים]], [[מספרים שלמים]] ו[[שבר (מתמטיקה)|שברים]], תחילה על ידי מתמטיקאים הודים וסינים, ולאחר מכן על ידי מתמטיקאים ערבים, שהיו גם הראשונים להתייחס למספרים אי-רציונליים כעצמים אלגבריים (האחרונים התאפשרו על ידי התפתחות ה[[אלגברה]]).

השם "מספר ממשי" ניתן למספרים אלה ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]] על ידי [[דקרט]], שעשה זאת כדי להבחין בין [[שורש (של פונקציה)|שורשים]] ממשיים לבין שורשים [[מספר מדומה|מדומים]] של [[פולינום]]. בפיתוחו של ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] ב[[המאה ה-18|מאה ה-18]] נעשה שימוש נרחב במספרים ממשיים, אף על פי שלא הייתה עדיין [[הגדרה]] נאותה שלהם.

התיאורים הבלתי פורמליים לעיל של המספרים הממשיים אינם מספיקים כדי להבטיח את נכונותן של הוכחות [[משפט (מתמטיקה)|למשפטים]] הכוללים מספרים ממשיים. ההבנה שדרושה הגדרה טובה יותר, והפיתוח של הגדרה כזו היו התפתחות מרכזית של [[היסטוריה של המתמטיקה|המתמטיקה של המאה ה-19]]. ב-[[1872]] פרסם [[גאורג קנטור]] מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות [[סדרת קושי|סדרות קושי]] של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של [[ריכרד דדקינד]] את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.

==מספרים רציונליים ואלגבריים==
[[קובץ:Real number line.svg|ממוזער|250px|דוגמאות לייצוג של מספרים ממשיים כנקודות על הישר הממשי]]
לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא [[מספר שלם]]. מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים נקרא מספר רציונלי, אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה. [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] של קבוצת המספרים הממשיים היא [[עוצמת הרצף]] ש[[קבוצה שאינה בת מנייה|איננה בת מנייה]] (כפי שהוכח באמצעות [[האלכסון של קנטור]]), ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא [[קבוצה בת מנייה|בן-מנייה]]. המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], [[פאי|<math>\ \pi</math>]] או [[e (קבוע)|e]], נקראים [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליים]]. את קבוצת המספרים האי-רציונליים אפשר לחלק לשתי תת-קבוצות:
* קבוצת ה[[מספר אלגברי|מספרים האלגבריים]]: מספרים המהווים [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). זו [[קבוצה בת מנייה]].
* קבוצת ה[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]]: מספרים שאינם מספרים אלגבריים. זו [[קבוצה שאינה בת מנייה]] ו[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] היא [[עוצמת הרצף]]. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת [[1844]] על ידי ה[[מתמטיקאי]] הצרפתי [[ז'וזף ליוביל]] והתוצאה קרויה על שמו [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]]. בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] שקובע, בין השאר, ש־<math>\ \pi</math> ([[פאי]]) הוא מספר טרנסצנדנטי.

לכל מספר ממשי אי-שלילי יש [[שורש ריבועי]] ממשי, ולכל מספר ממשי שלילי אין שורש ריבועי ממשי. למספרים שליליים יש שורש [[מספר מרוכב|מדומה]]. למעשה, השורשים באים בזוגות: אם <math>a > 0</math> אז <math>x = \pm \sqrt{a}</math> שניהם שורשים ממשיים של <math>a</math> ואם <math>b < 0</math> אז <math>y = \pm i \sqrt{|b|}</math> שניהם שורשים מדומים של <math>b</math>. באופן כללי, הפתרון של [[משוואה ריבועית]] הוא שני [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] (כולל ריבוי). כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

==ההצגה העשרונית==
כל מספר ממשי אפשר להציג כ[[שבר עשרוני]], בעל מספר סופי או אינסופי של [[ספרה|ספרות]] מימין לנקודה. לחלק מהמספרים הרציונליים הייצוג כשבר עשרוני הוא סופי (למשל: 0.5=1/2), ולאחרים - אינסופי ומחזורי, למשל: ...0.08536585365=7/82 (מחזור בן 5 ספרות).

מספרים שהם שברים עשרוניים סופיים ניתנים להצגה כשברים אינסופיים בשתי דרכים:
* הוספת כמות אינסופית של אפסים אחרי הספרה העשרונית האחרונה. למשל: ...32.4800000000000 = 32.48
* כיוון ש-[[0.999...]] שווה ל-[[1 (מספר)|1]], ניתן לרשום גם ....65.299999999999 = 65.3
למספרים האי-רציונליים הייצוג כשבר עשרוני אינו מחזורי. למשל, <math>\pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]], ו[[השיטה העשרונית|הייצוג העשרוני]] שלו אינו מחזורי. חמישים הספרות הראשונות הן <math>\pi=3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\ldots</math>. לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק ב[[קירוב]]ים 3.14 או 3.14159.

==מרחק וטופולוגיה==
[[קובץ:Absolute difference.svg|ממוזער|250px|המרחק בין שני מספרים על הישר הממשי מוגדר כ[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של [[חיסור|הפרשם]].]]
ב[[טופולוגיה]], קבוצת המספרים הממשיים יוצרת [[מרחב מטרי]], שבו ה[[מרחק]] בין <math>x</math> ל-<math>y</math> מוגדר כ[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] <math>|x-y|</math>. בדרך זו התאמתם של המספרים הממשיים לנקודות על הישר הממשי מאפשרת לבטא את אורכו של כל קטע במישור.

על פי [[תכונת ארכימדס]], לכל מספר ממשי קיים [[מספר טבעי]] שגדול ממנו. נובע מכאן שהמרחב המטרי של המספרים הממשיים הוא [[מרחב ספרבילי]], משום שקבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], שהיא בת מנייה, היא [[קבוצה צפופה]] (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי). הארכימדיות מאפשרת להגדיר את [[פונקציית הערך השלם|הערך השלם]] של <math>x</math>, בתור המקסימום של <math> \{ n \in \mathbb Z \mid n \le x \} \!</math>.

[[קובץ:ArchimedischesAxiom.png|ממוזער|250px|לפי אקסיומת ארכימדס אם מניחים עותקים של קטע קצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור קטע אחר הארוך ממנו. מכאן ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי קיים מספר טבעי שגדול ממנו.]]

==ראו גם==
*[[מספר#התפתחות מושג המספר|התפתחות מושג המספר]]
*[[בניית המספרים הממשיים]]

==לקריאה נוספת==
* {{אוניברסיטה משודרת|[[ארנון אברון]]|משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה|1998}}, הפרק "עד כמה ממשיים הם המספרים הממשיים?", עמ' 39–56.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=מספר ממשי}}
*{{לא מדויק|2010/09/07/real_numbers_overview/|מהם המספרים הממשיים?}}
* {{לא מדויק|2024/08/11/real_numbers_decimal_notation|אז מה זה בעצם המספרים הממשיים? (חלק א': השיטה העשרונית)}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{מערכות מספרים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מספרים ממשיים|*]]
[[קטגוריה:מספרים]]