הצגת המקור של הדף "מספר מרוכב"

[[קובץ:Complex number illustration.png|שמאל|ממוזער|250px|תיאור גרפי של מספר מרוכב a+bi כנקודה ב[[המישור המרוכב|מישור]]: הציר <math>\ \mathfrak{R}</math> מתאר את הרכיב הממשי, a, והציר <math>\ \mathfrak{I}</math> מתאר את הרכיב המדומה, b.]]
ב[[מתמטיקה]], '''מספר מרוכב''' הוא [[מספר]] מהצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a</math> ו-<math>b</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ו-[[i (מספר)|<math>i</math>]] הוא ה[[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]]: <math>x^2+1=0</math>, כך שמתקיים: <math>i^2=-1</math>.

המספרים המרוכבים יוצרים את [[שדה המספרים המרוכבים]] שמסומן בסימן <math>\mathbb{C}</math>.

כיוון שה[[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] של כל מספר ממשי הוא אי שלילי, למספרים השליליים אין [[שורש ריבועי]]. המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי 'המצאת' מספר שאינו ממשי, <math>i</math>, ושילובו במספרים הממשיים. מספרים מרוכבים, כדוגמת <math>3+2i</math>, מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה'חדש'.

שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש [[שורש (של פונקציה)|שורש]] לכל [[פולינום]], לא רק למשוואה <math>x^2=-1</math>, שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר <math>i</math> מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו <math>x^6+x^2+1=0</math> או אפילו <math>x^5+(2-i)x+7i=0</math>. תכונה זו של [[שדה המספרים המרוכבים]] מנוסחת ב[[המשפט היסודי של האלגברה|משפט היסודי של האלגברה]], והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.

==היסטוריה==
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת [[המאה ה-16]], מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].

==הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים==
כל מספר מרוכב <math>z</math> ניתן להציג (באופן יחיד) כסכום <math>z = a+bi</math>, כך ש-<math>a</math> ו-<math>b</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ו-<math>i</math> הוא היחידה המדומה, המקיימת את התנאי <math>i^2 = -1</math>. בניסוח זה, <math>a</math> נקרא '''החלק הממשי''' של המספר, ומסומן <math>\operatorname{Re}(z)=\mathfrak{R}(z)=a</math>; באופן דומה <math>bi</math> הוא '''ה[[מספר מדומה|חלק המדומה]]''' של <math>z</math>, ומסמנים <math>\operatorname{Im}(z)=\mathfrak{I}(z)=b</math>

מזהים כל מספר מרוכב <math>a+bi</math> עם ה[[זוג סדור|זוג הסדור]] <math>(a,b)</math> (או, באופן שקול, עם נקודה ב[[המישור האוקלידי|מישור האוקלידי]]), ומגדירים פעולות [[חיבור]] ו[[כפל]] מיוחדות על נקודות אלו. כתוצאה מכך מתקבל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אלגברי. (לפרטים נוספים על הבנייה ראו '''[[שדה המספרים המרוכבים]]''' ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו [[הרחבת שדות]]). ניתן לייצג מספרים מרוכבים בצורה [[גאומטריה|גאומטרית]] על גבי [[מערכת צירים קרטזית]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].

בחירת השמות 'מספר מדומה' מול 'מספר ממשי' מקורה בחוסר האמון שניתן בתחילה למספרים המרוכבים ובתחושה שהם [[מציאות]]יים פחות מהמספרים הממשיים. תחושה זו אינה שוללת את תקפותם כמספרים, ובתקופות שונות שרר חוסר אמון גם ב[[מספר שלילי|מספרים השליליים]], ואחריהם [[מספר אי-רציונלי|במספרים הממשיים שאינם רציונליים]].

==אריתמטיקה של מספרים מרוכבים==
המספרים המרוכבים מקיימים
: <math>\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math>
: <math>\ (a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math>.

כמו כן נהוג להגדיר:
* [[ערך מוחלט]]: <math>\ |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> - הערך המוחלט מציין את "גודלו" של המספר המרוכב (מרחקו מן הראשית, כאשר מסתכלים על המספר כעל נקודה ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]).
* [[צמוד מרוכב]]: <math>\ z^* = \bar{z} = (a+bi)^* = a - bi</math>

ואז מתקיים: <math>\ |z|^2 = z\cdot\bar{z}</math>. תכונה זו מאפשרת לבצע את פעולת החילוק בין שני מספרים מרוכבים באופן הבא (תחת ההנחה שהמכנה הוא מספר מרוכב שאינו אפס, מה שמבטיח באופן מיידי שגם הצמוד של המכנה הוא מספר מרוכב שאינו אפס) : <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot(c-di)}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{|c+di|^2}=\frac{ac+bd}{c^2 + d^2}+\frac{bc-ad}{c^2 + d^2}i</math>.

את פעולת החיסור בין שני מספרים מרוכבים ניתן להגדיר בקלות בדומה להגדרת פעולת החיבור: <math>\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i</math>.

== הצגה קוטבית ==
[[קובץ:Complex number illustration modarg.png|ממוזער|150x150px]]
מספר מרוכב שאינו אפס ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית וה[[זווית]] שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של הציר הממשי, כלומר עם ציר x (אם המספר הוא אפס, אז הזווית אינה נקבעת באופן יחיד: ניתן לקחת כל זווית שהיא). הצגה זו נקראת '''הצגה קוטבית''' (או '''הצגה פולרית''' או '''הצגה טריגונומטרית'''). על ידי שימוש ב[[טריגונומטריה]], ובסימון <math>\ r = |z|</math> מקבלים <math>\ z = r(\cos\theta + i \sin\theta)</math>.{{הערה|או בקצרה <math>\ z = r(cis\theta)</math>}} באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] ניתן לכתוב זאת גם כ-<math>\ z = r e^{i\theta}</math> כאשר את הזווית <math>\ \theta</math> (שנקראת [[ארגומנט (אנליזה מורכבת)|ארגומנט]]) ניתן לקבל על ידי הנוסחה <math>\ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> (הנוסחה נשארת נכונה גם אם <math>a=0</math>, ואז יש שתי אפשרויות, כתלות בסימן של <math>b</math>: אם <math>b>0</math>, אז  <math>\theta=\pi/2</math>, ואם <math>b<0</math>, אז <math>\theta=3\pi/2</math>){{הערה|הגדרה זו של <math>\theta</math> אינה לגמרי מדויקת: הזווית <math>\theta</math> בהצגה הקוטבית מהווה באופן כללי את הסטייה ב[[רדיאן|רדיאנים]] מציר x החיובי ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]], הנמדדת לפי הכיוון המנוגד ל[[כיוון השעון]]. כיוון שה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של הפונקציה [[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|<math>\arctan</math>]] היא <math>\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)</math>, היא לא מכסה את כל טווח הערכים האפשרי לזווית <math>\theta</math>. ניתן לראות זאת גם על ידי כך שההגדרה לא מבדילה בין הזווית המתקבלת ממספר מהצורה <math>\alpha+\beta i</math> לבין זו שמתקבלת מהמספר <math>-\alpha-\beta i</math>. לצורך התיקון, כאשר החלק הממשי של המספר שלילי, מגדירים <math>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi</math>. לטיפול מלא בבעיית קביעת הזווית, ראו [[קואורדינטות קוטביות#מציאת הזווית]].}} ואת <math>r</math> (שנקרא [[הערך המוחלט]]) על ידי הנוסחה <math>r=|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. כמו כן <math>e</math> הוא [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך. בחלק מהספרים מסומן לעיתים <math>z=r\cdot cis\theta</math> (כאשר <math>cis\theta=\cos\theta+i\sin\theta</math>).

צורת הצגה זו שימושית ביותר. למשל, בהינתן ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב פעולות הכפל והחילוק הופכות נוחות ומהירות יותר, מאחר שניתן להיעזר בחוקי חזקות. לדוגמה, בהינתן שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגתם הקוטבית <math>z_1=r_1 e^{i\theta_1}, z_2=r_2 e^{i\theta_2}</math> נוכל לבצע את פעולת הכפל ביניהם באופן הבא: <math>z_1 \cdot z_2=r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2}=r_1 r_2 e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)}</math>. פעולת החילוק תיתן <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} e^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)}</math>.

מפעולת הכפל בהצגה הפולרית ניתן לראות שכפל במספר מרוכב עם ערך מוחלט 1 וארגומנט <math>\ \theta</math>, משמעה סיבוב המספר המרוכב הנכפל בזווית  <math>\ \theta</math>.

כמו כן, ניתן להשתמש ב[[משפט דה מואבר|נוסחת דה-מואבר]] (לפיה <math>(r(\cos\theta + i \sin\theta))^n=r^n(\cos(n\theta)+i \sin(n\theta))</math>) על מנת למצוא [[שורש של מספר]] מרוכב (ראו פירוט בערך [[שורש של מספר#שורש של מספר מרוכב|שורש של מספר]]).

==שימושים==
יש בעיות רבות ב[[מתמטיקה]] וב[[פיזיקה]] שקל יותר לתאר ולפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח הבעיה ואף לא בתוצאה הסופית שלה.

=== שימושים במתמטיקה ===
המספרים המרוכבים הומצאו במקור כדי לפתור [[משוואה|משוואות]] [[פולינום|פולינומיות]], כגון [[משוואה ממעלה שלישית]], או המשוואה <math>x^2 + 1 =0</math>. מאוחר יותר התגלה, שלכל פולינום בעל מקדמים שהם מספרים מרוכבים יש שורש שהוא מספר מרוכב.{{הערה|בהקשר זה, מספר מרוכב שהחלק המדומה שלו שווה לאפס שקול למספר ממשי.}}

באמצעות [[משפט השארית]] אפשר לחשב [[אינטגרל]]ים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא-אמיתיים או לא-נאותים) על כל [[הישר הממשי]]: מ[[0 (מספר)|אפס]] (או מינוס אינסוף) עד [[אינסוף]].

כמו כן, באמצעות ההצגה הקוטבית ניתן לפתור גם [[משוואות דיפרנציאליות]].{{הבהרה|באיזה אופן?}}

[[פונקציית זטא של רימן]], שהיא [[פונקציה מרוכבת]], קשורה באופן מפתיע להתפלגות של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] (ראו גם [[השערת רימן]]).

=== דוגמאות לשימושים בפיזיקה ובהנדסת חשמל ===
ב[[פיזיקה]] הקלאסית ניתן להשתמש בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים בפתירת משוואות התנועה של [[מתנד הרמוני]], שהן [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]]. כמו כן הרבה פעמים נוח לחישובים לייצג [[גל]]ים בצורה מרוכבת (לרוב מתייחסים לחלק הממשי בלבד כגודל בעל משמעות פיזיקלית).

ב[[מכניקת הקוונטים]], בסיס המצבים של כל מערכת כלול ב[[מרחב הילברט]] מעל המספרים המרוכבים. לכל [[פונקציית גל]] יש [[מופע]] מרוכב שלא משפיע על גודל ה[[משרעת]] שלה אלא רק על "כיוון" הגל, ומאפשר לה [[התאבכות|להתאבך]] עם פונקציות גל אחרות. אף על פי כן, ה[[הסתברות]] למדידת גודל פיזיקלי מדיד מסוים היא תמיד ממשית ולא-שלילית.

מספרים מרוכבים שימושיים במיוחד גם בתיאור גדלים מחזוריים, ב[[אופטיקה פיזיקלית]], בתורת ה[[חשמל]] וב[[הנדסת אלקטרוניקה]]. בתחומים אלה משתמשים ב[[פאזור (אלקטרוניקה)|פאזורים]] (גדלים מרוכבים הכוללים [[משרעת]] ו[[מופע]]). בשני התחומים האחרונים נהוג לסמן את החלק המרוכב באות <math>\ j</math> במקום באות <math>\ i</math>, הואיל וזו כבר משמשת בהם לסימון [[זרם חשמלי|זרם]].

==ראו גם==
* [[i (מספר)]]
* הכללות של המספרים המרוכבים: [[אלגברת קווטרניונים]] (ובפרט [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]), [[אלגברת אוקטוניונים]] (ובפרט [[אלגברת האוקטוניונים של קיילי]]).

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים|שם ויקיספר=מספרים מרוכבים|ויקימילון=מספר מרכב}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Complex_number}}
* {{ynet|גדי אלכסנדרוביץ'|הכי ממשיים שיש: הכירו את המספרים המרוכבים|4133827|11 באוקטובר 2011}}
* {{דוידסון|מיכאל גורודין|האם יש מספרים לא אמיתיים?|sciencepanorama/האם-יש-מספרים-לא-אמיתיים|26 באפריל 2022}}
* {{יוטיוב|FCG0qUFyJ1c|שם=אלגברה א - הרצאה 05|אורך=45:59|ערוץ=Technion}} - הרצאה מצולמת על המספרים המרוכבים מאת פרופ' [[דוד צילג]], מתוך ספריית הווידאו של הטכניון - אלגברה א'
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007538749605171|מספרים מרוכבים}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אנליזה מרוכבת}}
{{מערכות מספרים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]
[[קטגוריה:מספרים]]