הצגת המקור של הדף "מספר ראשוני"

{{מפנה|ראשוני}}
ב[[תורת המספרים]], '''מספר ראשוני''' הוא [[מספר טבעי]] גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמ[[כפל]]ה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו, כלומר הוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. מספר טבעי גדול מ-1 שאינו ראשוני נקרא [[מספר פריק]]. המספר [[1 (מספר)|1]] אינו נחשב ראשוני, וגם לא פריק.

מקובל להתייחס אל המספרים הראשוניים כאבני הבניין של תורת המספרים, משום שאפשר להרכיב מהם, באמצעות פעולת ה[[כפל]], כל מספר טבעי. כבר [[אוקלידס]] ידע להוכיח שקיימים [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|אינסוף מספרים ראשוניים]]. ענפים מרכזיים בתורת המספרים עוסקים בתכונות שונות של המספרים הראשוניים, ב[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] שבה הם מופיעים, במידת הסדירות של הופעות אלה, ועוד.

[[הכללה (מתמטיקה)|הכללות]] של המספרים הראשוניים ל[[שדה מספרים|שדות]] שמעבר ל[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] נלמדות במסגרת [[תורת המספרים האלגברית]] ו[[תחום שלמות|תורת החוגים]].

[[קובץ:Prime rectangles.png|שמאל|ממוזער|250px|המספר 12 הוא פריק משום שניתן להציגו כמכפלה של המספרים 3 ו-4. המספר 11 הוא ראשוני מפני שאינו ניתן להצגה כמ[[כפל]]ה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו.]]

== פירוק יחיד לגורמים ==

לפי "[[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]", כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל: <math>\ 28 = 7\times 2\times 2</math>). ההצגה הזו יחידה [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שינוי סדר. ראשוניים אלה נקראים [[גורם|גורמים]] של המספר. בלשון מודרנית, [[חוג המספרים השלמים]] הוא [[תחום פריקות יחידה]].

תהליך מציאת המספרים הראשוניים המרכיבים [[מספר שלם]] נתון נקרא [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]]. זוהי בעיה קשה מבחינה אלגוריתמית, ולא ידוע עבורה [[אלגוריתם]] יעיל (כלומר, בעל [[זמן ריצה פולינומי|סיבוכיות פולינומית]]). חוזקן של שיטות [[הצפנה]] מרכזיות נובע מן הקושי לפרק מספר גדול לגורמיו הראשוניים.

== שכיחותם של הראשוניים ==
=== התפלגות הראשוניים ===
[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|קיימים אינסוף מספרים ראשוניים]]. ה[[הוכחה]] הראשונה לכך ניתנה בספרו של [[אוקלידס]], "[[יסודות (ספר)|יסודות]]". זוהי [[הוכחה בדרך השלילה]]:
: ברור שלכל מספר גדול מ-1 יש [[מחלק|גורם]] ראשוני (זו טענה שאפשר להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית]]). נניח שיש רק מספר סופי של ראשוניים, <math>\ p_1,\dots,p_n</math>. המספר <math>\ N = p_1\dots p_n+1</math> (מכפלת n הראשוניים הללו פלוס 1) אינו מתחלק באף אחד מהם, ולכן אין לו גורמים ראשוניים – אבל זו סתירה לכך ש- <math>\ N>1</math>. מכאן שאין רשימה סופית הכוללת את כל הראשוניים.

כאשר סופרים את הראשוניים בקטעים ארוכים (כגון: עד 1,000, בין 1,000 ל-2,000, וכן הלאה), מגלים ששכיחותם הולכת ויורדת. [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] עסק רבות בחישובים בקשר לסוגיה זו, ושיער ששכיחות הראשוניים בין 1 ל-x יורדת, בקירוב, ביחס הפוך ל[[לוגריתם|לוגריתם הטבעי]] של x. כחמישים שנים אחר-כך חקר [[רימן]] את [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית זטא הקרויה על שמו]], במטרה להוכיח את ההשערה של גאוס. על היסודות שהניח רימן, הצליחו לבסוף המתמטיקאים של סוף [[המאה ה-19]] להוכיח את '''[[משפט המספרים הראשוניים]]''': מספר הראשוניים הקטנים ממספר נתון <math>x</math> שווה בקירוב ל- :<math>\ \frac{x}{\ln(x)}</math>
כאשר <math>\ \ln(x)</math> הוא ה[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]] של <math>\ x</math>.

ממשפט המספרים הראשוניים אפשר להסיק היכן נמצא, בקירוב, הראשוני ה-n-י, <math>\ p_n</math>:
<math>\ p_n \sim n\,\mbox{ln}\,n</math>. ליתר דיוק, עבור כל שלם <math>\ n\ge 6</math>, מתקיים
<math>\ n \ln n + n(\ln \ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln\ln n</math>.

לפי '''[[השערת ברטראן]]''' (שהוכחה ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]]), יש מספר ראשוני בכל [[קטע]] מהצורה <math>\ [n,2n]</math>. עם זאת, לא ידוע האם לכל n טבעי קיימים ראשוניים בקטע <math>\ [n^2,(n+1)^2]</math>.

ברווח שבין ראשוניים סמוכים עוסקת [[השערת המספרים הראשוניים התאומים]].

=== הצגות של ראשוניים ===

לא קיים [[פולינום]] שאינו קבוע, אפילו בכמה משתנים, המקבל (כאשר מציבים בו מספרים שלמים) רק ערכים ראשוניים. לתוצאה זו יש הכללות רבות. למשל, היא נכונה גם עבור [[פונקציה אלגברית|פונקציות אלגבריות]] ([[פונקציה]] F היא אלגברית אם קיים פולינום P כך ש- <math>\ P(F(z))=0</math>; לדוגמה, <math>\ F(z) = \sqrt[3]{z^2+\sqrt{z}}</math> אלגברית). פונקציה מהצורה <math>\ \sum_{i=1}^{m} P_i(x_1,\dots,x_n) a_i^{Q(x_1,\dots,x_n)}</math>, שבה הפולינומים <math>\ P_i,Q_i</math> בעלי מקדמים שלמים, והמספרים <math>\ a_i</math> שלמים, שאינה קבועה, אינה יכולה לקבל רק ערכים ראשוניים כאשר מציבים במשתנים <math>\ x_1,\dots,x_n</math> ערכים טבעיים{{הערה|1=
Diophantine Representation of the set of prime numbers, Jones, Sato, Wada and Wiens, JAMS 1976, Thm. 4.4
}}.

לעומת זאת, אפשר להציג מספרים ראשוניים באמצעות פונקציות שאינן אלגבריות. לדוגמה, אם מגדירים את הפונקציה <math>\ d(x,y) = \max(x-y,0)</math>, ו-<math>\ r(y,x)</math> היא השארית של y בחלוקה ל־x (עם <math>\ r(y,0)=y</math>), אז הראשוני ה-n-י מתקבל מהנוסחה <math>\ p_n = \sum_{i=0}^{n^2} d(1,d(\sum_{j=0}^{i}r(d(j,1)!^2,j),n))</math>{{הערה|1=
James Jones, Formula for the n'th prime number, Canad. Math. Bull. 18(3) (1975)
}}. בעזרת טכניקות שפותחו במסגרת פתרון [[הבעיה העשירית של הילברט]], נמצאו פולינומים <math>\ P(x_1,\dots,x_n)</math> בעלי מקדמים שלמים, כך שקבוצת הערכים הטבעיים שהפולינום מקבל, כאשר מציבים ב-<math>\ x_1,\dots,x_n</math> מספרים טבעיים, מתלכדת עם קבוצת המספרים הראשוניים{{הערה|1=
Diophantine Representation of the set of prime numbers, Jones, Sato, Wada and Wiens, JAMS 1976, Thm. 1
}}.

[[קבוע מילס#משפט מילס|משפט מילס]] קובע כי קיים קבוע <math>A</math> כך ש-<math>[A^{3^n}]</math> ראשוני לכל n טבעי (כאשר <math>[\cdot]</math> היא [[פונקציית הערך השלם]]).

=== הצגות ויזואליות של ראשוניים ===
צורה ויזואלית של [[התפלגות]] המספרים הראשוניים ניתנת להצגה על ידי [[ספירלת אולם]]. אופן הצגה זה מדגיש את הראשוניים המופיעים בסדרות ריבועיות, כמו <math>\ 4n^2+1</math>. את הספירלה גילה ה[[מתמטיקאי]] ומדען האטום [[סטניסלב אולם]].

=== ראשוניים בסדרות חשבוניות ===

את משפט המספרים הראשוניים הכליל [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה|דיריכלה]] ל[[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]]:
אם <math>\ a,n</math> הם [[מספרים זרים]], אז ישנם אינסוף מספרים ראשוניים השקולים ל-<math>\ a</math> מודולו <math>\ n</math>. דיריכלה הוכיח שבכל <math>\ n</math>, המספרים הראשוניים מפוזרים באופן אחיד בקירוב, בין <math>\ \phi(n)</math> השאריות האפשריות מודולו <math>\ n</math>. אם <math>\ \pi(x,n,a)</math> מייצג את כל המספרים הראשוניים בטווח <math>\ [2,x]</math> השקולים ל-<math>\ a</math> מודולו <math>\ n</math>, כאשר <math>\ \mbox{gcd}(a,n)=1</math>, אזי
:::<math>\ \pi(x,n,a) \sim \frac{x}{\phi(n)\,\mbox{ln}\,x}</math>.

לעומת זאת, לא ידוע האם יש אינסוף ראשוניים מצורות שאינן ליניאריות, כגון <math>\ n^2+1</math>.

=== טורים ומכפלות אינסופיות ===

ידוע שסכום [[הסדרה ההרמונית|הטור ההרמוני]] <math>\ \sum_{n\leq x} \frac{1}{n}</math> הוא <math>\ \ln(x)+\gamma+o(1)</math> (כאשר <math>\ \gamma</math> הוא [[קבוע אוילר-מסקרוני]]). לעומת זאת, כאשר מסכמים על ראשוניים בלבד, <math>\ \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \ln\ln(x)+B+o(1)</math>, כאשר B קבוע. ובפרט [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים]] מתבדר.

באופן דומה, המכפלה <math>\ \prod_{n=2}^{N} (1-1/n) = \frac{1}{N}</math>, בעוד ש-<math>\ \prod_{p\leq N}(1-1/p) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(N)}</math>.

== ראשוניים קטנים וגדולים ==

המספרים הראשוניים הקטנים ביותר הם [[2 (מספר)|2]], [[3 (מספר)|3]], [[5 (מספר)|5]], [[7 (מספר)|7]], [[11 (מספר)|11]], [[13 (מספר)|13]] ו-[[17 (מספר)|17]].

נכון ל-[[2019]], המספר הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא [[מספר מרסן]] הראשוני ה-51, <math>\ 2^{82,589,933}-1</math>{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html|כותרת=51st Known Mersenne Prime Discovered|תאריך_וידוא=2024-02-05|אתר=www.mersenne.org}}}}. למספר זה 24,862,048 ספרות עשרוניות. המספר התגלה באמצעות [[חישוב מבוזר קהילתי]] של מיזם [[GIMPS]] על ידי פטריק לארוץ'. קדם לו המספר <math>\ 2^{77,232,917}-1</math> שהתגלה ב-[[26 בדצמבר]] [[2017]] שהוא מספר מרסן הראשוני ה-50, שהתגלה על ידי ג'ון פייס ממיזם GIMPS{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html|כותרת=50th Known Mersenne Prime Discovered|תאריך_וידוא=2024-02-05|אתר=www.mersenne.org}}}}.

ב-[[12 באוקטובר]] [[2024]] נמצא על ידי המתנדב '''לוק דוראנט''' מספר ראשוני חדש, [[מספר מרסן|מספר המרסן]] הראשוני ה-52, שהוא <math>\ 2^{136,279,841}-1</math>, המספר הוא בן 41,024,320 ספרות. גילוי המספר החדש הוא לאחר כ-6 שנים שלא התגלה מספר חדש, והוא נמצא על ידי תוכנת החיפוש ''Mersenne Prime Search (GIMPS)'' המספר פורסם רשמית ב-[[21 באוקטובר]] [[2024]] (לאחר שהסתיימה בדיקתו ב-[[19 באוקטובר]]){{הערה|[https://www.mersenne.org/ אתר החיפוש של מספרים חדשים]}} מוצא המספר זכה בפרס בסך 3000 דולר ארצות הברית{{הערה|{{Ynet||עם יותר מ-41 מיליון ספרות: זהו המספר הראשוני הכי גדול|article/rkmolbng1e|21 באוקטובר 2024}}}}.

== אלגוריתמים ==

מאז המצאת שיטת [[RSA]] ב-1977, הפכו המספרים הראשוניים למרכיב יסודי כמעט בכל מערכת הצפנה המשלבת [[מפתח ציבורי|מפתחות ציבוריים ופרטיים]]. במקרים רבים, חוזק ההצפנה מבוסס על הקלות היחסית שבה אפשר לבצע פעולות של [[כפל מודולרי|כפל]] ו[[העלאה בחזקה]] מודולריות, גם ב[[מספרים גדולים]] (בני מאות ספרות), ומאידך על הקושי העצום שבפירוק מספרים כאלה לגורמיהם הראשוניים.

=== מציאת כל המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון ===
<!-- הקובץ הבא הוא GIF דינמי, ולכן יש להגדירו "ממוסגר" ולא "ממוזער" -->
[[קובץ:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif|שמאל|ממוסגר|מציאת כל המספרים הראשוניים בין 2 ל-120 באמצעות [[הנפה של ארטוסתנס]].]]

[[ארטוסתנס]], מתמטיקאי ואסטרונום [[יוון העתיקה|יווני]] בן המאה ה-3 לפנה"ס, פיתח [[אלגוריתם]] פשוט ויעיל למציאת כל המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון, הקרוי על שמו: [[הנפה של ארטוסתנס]]. אלגוריתם זה מאתר מספרים ראשוניים בהדרגה ככאלה שאינם מספרים פריקים, אשר אותם הוא מפיק עבור כל מספר ראשוני, החל מ 2, על ידי ספירה בכפולות של אותו מספר. לדוגמה:

קובעים 2 כמספר ראשוני הראשון, סופרים ממנו בצעדים של 2 ומסמנים את כל המספרים האלה (שיהיו המספרים הזוגיים) כפריקים. קובעים ש 3 הוא הראשוני הבא ומסמנים את כפולותיו על ידי ספירה בשלשות (יהיו אלה כל הכפולות של 3). 5 הוא הראשוני הבא (את 4 סימנו כבר בשלב הראשון), ואת כפולותיו מסמנים על ידי ספירה בצעדים של 5, וכך הלאה.

הנפה של ארטוסתנס יעילה מבחינת [[סיבוכיות זמן|סיבוכיות הזמן]] הנדרש לביצוע המשימה ליצירת רשימה של מספרים ראשוניים הקטנים מגבול מסוים, אך אינה יעילה לבדיקת ראשוניות של מספר נתון; לשם כך יש דרכים אחרות.

=== הוכחת ראשוניות ===

כדי להוכיח שמספר נתון '''אינו''' ראשוני, די להציג פירוק שלו לשני גורמים. מכאן שזיהוי מספרים לא ראשוניים הוא בעיה שהיא לפחות ב[[NP (מחלקת סיבוכיות)|מחלקת הסיבוכיות NP]]. גם בדיקה האם מספר הוא ראשוני שייכת ל-NP, בהתבסס על כך שמספר p הוא ראשוני [[אם ורק אם]] קיים מספר מסדר p-1 ב[[חבורת אוילר]] של p, ותנאי זה ניתן לבדיקה באופן יעיל בהינתן הפירוק של p-1 (כך שהוכחת NP לראשוניות p תכלול את הפירוק הזה ואת המספר מסדר p-1). בשנת 2002 הציגו [[מנינדרה אגרוול]], [[נירג' קייל]] ו[[ניטין סקסנה]] אלגוריתם פולינומי להוכחת ראשוניות, הנקרא על שמם [[מבחן AKS לראשוניות]]. בכך הראו שהוכחת ראשוניות שייכת למחלקת הסיבוכיות [[P (מחלקת סיבוכיות)|P]]{{כ}}{{הערה|1=ראו [http://www.math.princeton.edu/~annals/issues/2004/Sept2004/Agrawal.pdf#search=%22primes%20is%20in%20p%22 מאמרם של אגרוול ועמיתיו]}} ולפיכך גם הבעיה הדואלית (האם מספר אינו ראשוני) שייכת ל-P.

=== מבחני ראשוניות ===
הדרך הנאיבית לבדיקת ראשוניות של מספר נתון נקראת "'''חלוקה ניסיונית'''" (Trial division): ניסיון לחלק את המספר הנתון בכל המספרים מ־2 ועד [[שורש ריבועי|לשורש הריבועי]] של המספר הנתון. אם המספר לא התחלק באף אחד ממספרים אלו הוא גם לא יתחלק באף מספר גדול יותר ולכן הוא ראשוני. במספרים קטנים (ובסמוך להפעלת שיטת [[הנפה של ארטוסתנס]]), עדיף לבצע את החילוק הניסיוני רק במספרים ראשוניים. לשתי השיטות סיבוכיות <math>\ O(\sqrt{n})</math> או קרוב לזה, והן אינן [[יעילות אלגוריתמית|יעילות]] עבור מספרים גדולים (בני עשרות [[ספרה|ספרות]] עשרוניות).

אלגוריתמים מתקדמים יותר לבדיקת ראשוניות מתחלקים לשני סוגים עיקריים:
* '''אלגוריתם בדיקת ראשוניות אקראי''', אלו [[אלגוריתם אקראי|אלגוריתמים אקראיים]], המקבלים מספר כלשהו ומחזירים תשובה "אמת" או "שקר" לגבי ראשוניותו של המועמד. אלגוריתם כזה עשוי לטעות בכיוון אחד: התשובה "שקר" פירושה שהמספר פריק, ואילו התשובה "אמת" פירושה שהמספר ראשוני בסיכוי גבוה מאד.
* '''בדיקת ראשוניות דטרמיניסטית''', נקראת גם בדיקת ראשוניות '''אמיתית'''. בניגוד לשיטה הקודמת, התשובה שמחזיר אלגוריתם כזה היא נכונה בוודאות. הוודאות נקנית במחיר של סיבוכיות גבוהה יותר.

מבחנים רבים, משתי המחלקות, מבוססים על [[המשפט הקטן של פרמה]]: עבור כל ראשוני <math>\ p</math> ושלם <math>\ a</math> [[מספרים זרים|זר ל]]-<math>\ p</math>, מתקיים השוויון <math>\ a^{p-1} \equiv 1 (\mbox{mod }p)</math>. לפיכך, אם השוויון אינו מתקיים, זוהי ראיה לכך ש-<math>\ p</math> אינו ראשוני. קיימים אלגוריתמים יעילים לחישוב הערך של <math>\ a^{n-1}</math> מודולו <math>\ n</math>, כגון [[אלגוריתם ריבוע וכפל]] (העלאה חוזרת בריבוע, וכפל ב-a על-פי ה[[כתיב בינארי|הצגה הבינארית]] של n), שסיבוכיותו פולינומית באורך של n. כל מספר ראשוני יעבור את המבחן, אולם לכל a ישנם מספרים פריקים שהמבחן לא יאתר – אלו קרויים [[מספר פסאודו ראשוני|פסאודו ראשוניים]].

[[גרי מילר]] ניצל תכונות ידועות של המשפט הקטן של פרמה ליצירת [[אלגוריתם דטרמיניסטי]] פולינומי למבחן ראשוניות, המתבסס על [[השערת רימן המוכללת]] (ERH). [[מיכאל רבין]] הרחיב את האלגוריתם מיד לאחר מכן, למבחן ראשוניות פולינומי אקראי. האלגוריתם נקרא על שמם [[אלגוריתם מילר-רבין]]. רוברט סולוביי ופולקר שטראסן הציעו אלגוריתם למבחן ראשוניות אקראי המבוסס על [[סימן יעקובי]]. עבור <math>\ n</math> ראשוני כלשהו <math>\ \left({a\over n}\right) = a^{{n-1 \over 2}} (\mbox{mod }n)</math> מתקיים עבור כל <math>\ a</math>. גם אלגוריתם זה ניתן להרחבה למבחן ראשוניות דטרמיניסטי, בהנחה שהשערת רימן המורחבת נכונה.

[[שפי גולדווסר]] וג'ו קיליאן הציעו אלגוריתם אקראי למבחן ראשוניות המתבסס על [[עקום אליפטי]], שזמן הריצה שלו פולינומי כמעט עבור כל קלט. בהתבסס על רעיון זה, פיתח ארתור אטקין אלגוריתם דטרמיניסטי יעיל מאוד מבחינה מעשית לבדיקת ראשוניות הנקרא Atkin's test. יתרונה של הגישה הוא שהיא מספקת הוכחות קצרות לראשוניות (primality certificate).

[[לאונרד אדלמן]] והואנג פרסמו [[אלגוריתם הסתברותי]] שלעולם אינו טועה, אולם רק ניתן לומר שתוחלת זמן הריצה שלו פולינומית, כלומר הם הראו שבדיקת ראשוניות היא במחלקת הסיבוכיות ZPP = [[RP]] ∩ Co-RP.

מבחינה תאורטית לפחות סוגיית הסיבוכיות של בדיקת ראשוניות יושבה ב-2002 כששלושה מדעני מחשב [[הודי]]ים, אגרוול, קייל וסקסנה, הראו אלגוריתם פולינומי דטרמיניסטי לבדיקת ראשוניות הנקרא על שמם [[AKS]]. האלגוריתם מבוסס על הכללה של המשפט הקטן של פרמה ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוגי]] פולינומים מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]]. סיבוכיות האלגוריתם היא בסביבות <math>\ O(\mbox{log}^6(n))</math>{{הערה|1= ראו [http://www.math.princeton.edu/~annals/issues/2004/Sept2004/Agrawal.pdf#search=%22primes%20is%20in%20p%22 מאמרם של אגרוול ועמיתיו]}}.

== איברים ראשוניים בתחומי שלמות ==

[[חוג המספרים השלמים]] אינו אלא אחד מני [[תחום שלמות|תחומי שלמות]] רבים. בתחום שלמות כללי יש שני סוגי איברים שאפשר לראות בהם הכללה של המספרים הראשוניים: '''איבר אי-פריק''' של תחום שלמות הוא איבר a (לא הפיך ושונה מאפס) שאין לו מחלקים [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]], כלומר, אם a=bc אז כל אחד משני הגורמים b ו-c הוא הפיך או כפולה של a באיבר הפיך. איבר p הוא '''איבר ראשוני''', אם כל אימת ש-p מחלק מכפלה bc, הוא מחלק את אחד הגורמים שלה. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק, אבל ההפך אינו בהכרח נכון. בחוג השלמים שני המושגים מתלכדים (זוהי [[הלמה של אוקלידס]]), ומגדירים את המספרים הראשוניים המוכרים, והמספרים הנגדיים להם: <math>\ 2, -2, 3, -3, ...</math>.

התכונה הבסיסית של המספרים הראשוניים (בחוג השלמים) מתבטאת במשפט היסודי של האריתמטיקה: כל מספר '''אפשר''' לפרק לגורמים ראשוניים, '''באופן יחיד'''. גם כאן, כשבוחנים תחום שלמות כללי במקום חוג השלמים, שתי התכונות האלה עשויות שלא להתקיים. ישנם תחומי שלמות שבהם הראשוניים נדירים יותר, וקיים פירוק לגורמים אי-פריקים, אבל לא לגורמים ראשוניים (לדוגמה: בחוג <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-6}]</math> אפשר לפרק <math>\ 6 = 2 \cdot 3 = -\sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}</math>; הגורמים אי-פריקים אבל אינם ראשוניים). ישנם גם תחומי שלמות שבהם אין פירוק אפילו לגורמים אי-פריקים (אלו חוגים שאינם [[חוג נותרי|נתריים]]). עם זאת, כאשר קיים פירוק לגורמים ראשוניים, הוא יחיד (אפילו בין כל הפירוקים לגורמים אי-פריקים). ב[[תחום ראשי|תחומים ראשיים]], כל איבר אי-פריק הוא ראשוני, ויש פירוק יחיד לגורמים.

== שאלות פתוחות ==
תחום המספרים הראשוניים כולל [[בעיה פתוחה במתמטיקה|שאלות פתוחות]] רבות, ובהן:
* [[השערת גולדבך]] – האם כל [[מספר זוגי]] גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים?
* [[השערת המספרים הראשוניים התאומים]] – האם יש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2?
* האם לכל d טבעי קיימים אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2d? (הכללה של שתי ההשערות הקודמות).
* האם יש אינסוף [[סדרת פיבונאצ'י|מספרי פיבונאצ'י]] ראשוניים?
* האם יש אינסוף [[מספר פרמה|מספרי פרמה]] ו[[מספר מרסן|מספרי מרסן]] ראשוניים?
* האם יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה <math>\ n^2+1</math>? (בתורת המספרים השאלה ידועה כ'''בעיית אוילר'''); איוונייץ הוכיח (1972), בעזרת שיטת הנפה, שיש אינסוף מספרים מהצורה האמורה שיש להם לכל היותר שני גורמים ראשוניים.

==בתרבות==
בספר ה[[מדע בדיוני|מדע הבדיוני]] "[[מגע (ספר)|מגע]]" מאת [[קרל סייגן]] מזהה גיבורת הספר, העובדת במיזם [[SETI]], שידור המגיע מהחלל של סדרת קולות שהיא סדרת המספרים הראשוניים מתחילתה ועד 907, ומשוכנעת שמקורו ב[[חיים תבוניים מחוץ לכדור הארץ]].

ספרו של [[אפוסטולוס דוקסיאדיס]], "הדוד פטרוס והשערת גולדבך"{{הערה|מהדורה עברית: תרגום: [[אמיר צוקרמן]], הוצאת [[ידיעות ספרים]], 2000}}, הוא רומן המתרחש על רקע חיפוש הוכחה להשערת גולדבך, הקובעת שכל [[מספר זוגי]] גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים. ל[[קידום מכירות|קידום מכירתו]] של הספר הכריזו ה[[מו"ל]]ים של המהדורה האנגלית של הספר ב[[ארצות הברית]] וב[[בריטניה]], על [[פרס (זכייה)|פרס]] בסך מיליון דולר למי שיוכיח את השערת גולדבך. עד תום המועד שנקבע למתן ההוכחה לא נמצאה ההוכחה המבוקשת.

כריסטופר, ה[[מספר (ספרות)|מספר]] בספרו של [[מארק האדון]] "[[המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה]]", הוא ככל הנראה בעל [[תסמונת אספרגר]] או [[תסמונת סוואנט]], הוא מחונן ואוהב [[מתמטיקה]]. הדבר בולט כבר במספור הפרקים במספרים ראשוניים ולא במספרים מונים כמו בספרים אחרים (פרק 2 הוא הפרק הראשון של הספר). הוא מציג את עצמו כמי מכיר את כל המדינות בעולם ובירותיהן ואת כל המספרים הראשוניים עד 7,507.

בספר "[[האיש שחשב שאשתו היא כובע]]" מתאר ה[[נוירולוג]] [[אוליבר סאקס]] את חוויותיו הטיפוליות עם מספר מטופלים, בהם הפרק "התאומים", על אודות תסמונת סוואנט. סאקס נפגש עם זוג [[תאומים]] [[אוטיזם|אוטיסטים]], שלא היו מסוגלים לקרוא או לבצע פעולות [[כפל]] ו[[חילוק]], אך היו מסוגלים למצוא בצורה ספונטנית, וכשעשוע קליל, טווח נרחב של מספרים ראשוניים. בעוד שהתאומים "שולפים מן המותן" מספרים ראשוניים בעלי שש עד עשרים ספרות, סאקס נזקק לטבלה המכילה את רשימת המספרים הללו, על מנת לעקוב אחריהם.

ה[[מלחין]] הצרפתי [[אוליבייה מסייאן]] השתמש במספרים ראשוניים בהלחנת יצירותיו La Nativité du Seigneur {{אנ|La Nativité du Seigneur}} ו-Quatre Études de rythme {{אנ|Quatre Études de rythme}}.

==ראו גם==
* [[בעיות לנדאו]]
* [[היסטוריית המספרים הראשוניים]]
* [[מספר ראשוני מאוזן]]

== לקריאה נוספת ==
* [[מרכוס דו סוטוי]], '''המוזיקה של המספרים הראשוניים''', [[הוצאת ידיעות אחרונות]], תרגם: אוריאל גבעון, [[2006]].

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ימין|ויקימילון=מספר ראשוני|ויקיספר=חשבון/מספרים ראשוניים|שם ויקיספר=מספר ראשוני}}
* {{דוידסון|יעל נוריק|מספרים ראשוניים – שאלות, תשובות והשערות|mathcircle/articles/מספרים-ראשוניים-–-שאלות-תשובות-והשערות|13 בדצמבר 2014}}
* {{פרונטירז|[[אהוד דה שליט]]|מדוע המספרים הראשוניים מסקרנים כל כך?|2018.00040|1 באפריל 2019}}
* [http://primes.utm.edu/ The Prime Pages] מספרים ראשוניים באתר [[אוניברסיטת טנסי]]
* [http://www.toolmenow.com/4/Prime-Number-Checker בודק ראשוניות] {{אנגלית}}
* [http://www.bigprimes.net Big Primes] - אתר עם רשימות של מספרים ראשוניים, [[מספר מרסן|מספרי מרסן]], [[מספרי פיבונאצ'י]], [[מספר פרמה|מספרי פרמה]], [[מספר מושלם|מספרים מושלמים]] ועוד {{אנגלית}}
* {{MathWorld}}
* [https://github.com/openssl/openssl/blob/master/crypto/bn/bn_prime.h 2048 הראשוניים הראשונים].
* {{בריטניקה}}
* {{OEIS|A000040|סדרת המספרים הראשוניים}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007538747905171|מספרים ראשוניים}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{קריפטוגרפיה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מספרים ראשוניים|*]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]