הצגת המקור של הדף "מספר שמח"

'''מספר שמח''' (ב[[אנגלית]]: '''Happy number''') מתייחס ל[[מספר טבעי|מספרים]] שעבורם התהליך של חישוב [[סכום]] [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[ספרה|ספרות]] (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1.
במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי הספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1.

== הגדרה ==

בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי <math>\ n=n_0</math>, נגדיר את ה[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] <math>\ n_1</math>, <math>\ n_2</math>, ... שבה <math>\ n_{i+1}</math> הוא סכום ריבועי הספרות של <math>\ n_i</math>. {{כ}}<math>\ n</math> הוא מספר שמח [[אם ורק אם]] קיים <math>\ i</math> שעבורו <math>\ n_i = 1</math>.

דוגמה: 19 הוא מספר שמח, משום שמתקיימת בו הסדרה הבאה:
:<math>\ 1^2 + 9^2 = 82</math>
:<math>\ 8^2 + 2^2 = 68</math>
:<math>\ 6^2 + 8^2 = 100</math>
:<math>\ 1^2 + 0^2 + 0^2= 1</math>

תחילתה של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרת]] המספרים השמחים היא:
:[[1 (מספר)|1]], [[7 (מספר)|7]], [[10 (מספר)|10]], [[13 (מספר)|13]], [[19 (מספר)|19]], [[23 (מספר)|23]], [[28 (מספר)|28]], [[31 (מספר)|31]], [[32 (מספר)|32]], [[44 (מספר)|44]], [[49 (מספר)|49]], [[68 (מספר)|68]], [[70 (מספר)|70]], [[79 (מספר)|79]], [[82 (מספר)|82]], [[86 (מספר)|86]], [[91 (מספר)|91]], [[94 (מספר)|94]], [[97 (מספר)|97]], [[100 (מספר)|100]].

מההגדרה נובע שכל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] [[מספר טבעי|טבעית]] של 10 היא מספר שמח.

== הסבר ==

נגדיר [[פונקציה]] <math>\ f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> כך ש- <math>\ f(n)</math> הוא סכום ריבועי [[ספרה|הספרות]] של <math>\ n</math>.

הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m. לכל <math>\ m \geq 4</math> מתקיים :<math>\ n\geq10^{m-1}>81m</math>
כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה. כאשר הסדרה מגיעה למספר קטן מ-1000, המספר שסכום ריבועי ספרותיו הוא הגדול ביותר הוא 999, והסכום המתקבל הוא 243.
* בטווח 100 עד 243, המספר 199 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 163.
* בטווח 100 עד 163, המספר 159 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 107.
* בטווח 100 עד 107, המספר 107 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 50.
בהתאם לכך, כל מספר גדול מ-99 הולך וקטן בתהליך זה, כלומר: לכל מספר שנבדוק, נגיע בשלב כלשהו בסדרה למספר קטן מ-100. בדיקה של כל המספרים בטווח 1 עד 99 מגלה שכל מספר בטווח זה הוא מספר שמח או שהוא מגיע למחזור המתואר להלן.

מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או [[נקודת שבת|בנקודת השבת]] (היינו, מספר m שעבורו <math>\ f(m)=m</math>), או ב[[פונקציה מחזורית|מחזור]] סופי.

נקודת השבת היחידה היא <math>\ m=1</math>, ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים". בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך [[8 (מספר)|8]],
<math>\ 4\mapsto 16 \mapsto 37 \mapsto 58\mapsto 89\mapsto 145\mapsto 42\mapsto 20\mapsto 4</math>.

מקיומם של מספר שמח אחד ומספר אחד שאינו שמח, קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. אם k הוא מספר שמח, הרי מספר המורכב מ-k מופעים של הספרה 1 וממספר מופעים כלשהו של הספרה 0 גם הוא שמח (משום שסכום ריבועי ספרותיו הוא k), כלומר מצאנו אינסוף מספרים שמחים. באופן דומה ניתן לייצר אינסוף מספרים שאינם שמחים, בעקבות מספר נתון אחד שאינו שמח.

==מספרים שמחים נוספים==
* "מספר שמח-ראשוני" הוא מספר שהוא גם מספר שמח וגם [[מספר ראשוני]]. להלן המספרים הקטנים מ-500: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487.
* נכון ל-[[2010]], המספר השמח הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא [[מספר מרסן]] הראשוני <math>\ 2^{42,643,801}-1</math>. זהו מספר בן 12,837,064 ספרות עשרוניות.
* מספר שמח עוקב הוא מספר שמח שצמוד לו קיים מספר שגם הוא שמח, קיימים אינסוף מספרים שמחים עוקבים.
* חיפוש ממוחשב עד ל-10<sup>20</sup> מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך ה[[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] המדויקת אינה ידועה.

== ראו גם ==
* [[מספר ארמסטרונג]] {{אנ|Narcissistic number}} - מספר k-ספרתי השווה לסכום החזקות ה-k של ספרותיו. לדוגמה: המספר 153 הוא מספר ארמסטרונג, כיוון ש: 153 = (3*3*3)+(5*5*5)+(1*1*1). סכום החזקה השלישית (כי המספר בן שלוש ספרות) של כל אחד מספרותיו, שווה למספר עצמו. לעומת זאת, המספר 2000 אינו מספר ארמסטרונג, כיוון ש: 2000≠16=(0*0*0*0)+(0*0*0*0)+(0*0*0*0)+(2*2*2*2).

==קישורים חיצוניים==
* [http://noam-gaash.co.il/math/happyPrimes.htm חישוב ראשוניים שמחים]
* {{MathWorld}}
* {{OEIS|A007770|סדרת המספרים השמחים}}

[[קטגוריה:תכונות התלויות בבסיס הספירה]]