הצגת המקור של הדף "מעגל"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מבנה בגאומטריה}}
{{מפנה|עיגול|פעולה מתמטית|עיגול (אריתמטיקה)}}
[[קובץ:Maagalbase.JPG|ממוזער|250px|החלק החיצוני הצבוע באפור מסמן את המעגל והשטח הצבוע בצהוב מסמן את העיגול]]
'''מעגל''' הוא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] ש[[מרחק]]ן מה[[מרכז (גאומטריה)|מרכז]] קבוע. 

המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא [[רדיוס]] (בעברית, "מחוג").

השטח שאותו תוחם המעגל מכונה '''עיגול'''. זהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מהרדיוס.

ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין אורך המעגל ([[היקף]] העיגול) ל[[קוטר]]ו קבוע בכל המעגלים, ומסומן באמצעות האות היוונית [[פאי|&pi;]].

למעגל ברדיוס <math>\ R</math> היקף <math>\ 2 \pi R</math>, והוא חוסם עיגול ששטחו <math>\ \pi R^2</math>.

==מינוח בעברית==
בעברית, מבחינים בין '''מעגל''', שהוא ה[[עקומה|קו]] העגול (שפתו של העִגול), ובין ה'''עיגול''', שאותו הוא תוחם. להבחנה זו אין מקבילה עברית בצורות גאומטריות אחרות: כאשר עוסקים ב[[משולש]], [[מרובע]], [[מלבן]] וכן הלאה, אותו מונח מציין הן את ההיקף והן את השטח. 

כמו כן, אף שבעברית משתמשים לעיתים במונח "[[היקף]] המעגל", לפי הגדרה זו נמצא כי מוטב היה לומר "אורך המעגל" ולחלופין, "היקף העיגול" (להבדיל מ[[שטח]] העיגול). 

כבכל כדור, [[קו רוחב|קווי הרוחב]] של כדור הארץ הם מעגלים. ארבעה מהם נקראים "חוג": [[חוג הסרטן]], [[חוג הגדי]] ושני [[חוג הקוטב|חוגי הקוטב]] – [[החוג הארקטי]] ו[[החוג האנטארקטי]]. הבחנה זו אינה קיימת בשפות האירופאיות הנפוצות, ובהן חוגים אלה נקראים מעגל.

==מושגים בסיסיים==

המעגל הוא כאמור שפת העיגול, כלומר, הקו התוחם את שטח העיגול.

===קטעים במעגל===

[[קובץ:CIRCLE LINES-he.svg|ממוזער|250px|קטעים במעגל]]

[[קטע (גאומטריה)|קטע]] המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא '''מיתר'''.

[[רדיוס]] (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות <math>\ R</math>.

כל '''מיתר''', העובר דרך מרכז המעגל נקרא '''קוטר''', ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר <math>\ 2 R</math> (ניתן לסמן אותו גם באות <math>\ D</math>).

===ישרים===
ל[[ישר]] ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות [[חיתוך (גאומטריה)|חיתוך]], נקודת חיתוך אחת או אפס נקודות חיתוך.

א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא '''חותך למעגל'''.

ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא [[משיק]] למעגל.

ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא '''ישר חיצוני למעגל'''.

אם נתונות משוואת הישר ומשוואת המעגל, ניתן להבחין בין שלושת המקרים בעזרת סימנה של ה[[דיסקרימיננטה]] המתקבלת בפתרון מערכת המשוואות.

===זוויות===
זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת '''[[זווית מרכזית]]''' (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל).

זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת '''זווית היקפית''' (שוקיה הם שני מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת '''זווית פנימית''' (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת '''זווית חיצונית''' (שוקיה הם שני חותכים למעגל).

===קשתות===
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות חלק מהיקף המעגל, הנקרא '''קשת'''. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף). הקטע הישר בין אמצע הקשת לאמצע המיתר עליו היא נשענת נקרא [[סגיטה|סַגִיטָה]] ('''חץ''' בלטינית).

הזווית של הקשת היא הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, שאותה מודדים ב[[מעלה (זווית)|מעלות]] או ב[[רדיאן|רדיאנים]].

{|align=center; border="0"; cellpadding="20"
|-
|[[קובץ:Circlehe.png|150px|מעגל]]||[[קובץ:Cord_tangent.png|150px|מיתר, קוטר ומשיק למעגל]]||[[קובץ:Angle.png|150px|זוויות]]||

|}

==משפטים על המעגל==
{|align=center; border="0"; cellspacing="10"; cellpadding="10"
|-
|'''לקשתות שוות מתאימים מיתרים שווים.'''||||'''משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה.'''
|-
|[[קובץ:cords.png|150px|מיתרים שווים לקשתות שוות]]||||[[קובץ:Tangent1.png|150px|משיק מאונך לרדיוס]]
|-
||||
|-
|'''זווית היקפית שווה בגודלה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.'''||||'''זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות בגודלן.'''
|-
|[[קובץ:Angle2.png|150px|זווית היקפית וזווית מרכזית]]||||[[קובץ:Angle1.png|150px|זוויות היקפיות]]
|}

משפטים נוספים:
# על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות.
# קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
# קטע המרכזים או המשכו של שני [[מעגלים משיקים|מעגלים המשיקים]] זה לזה, עובר דרך נקודת ההשקה שלהם.
# מרכז המעגל ה'''[[מעגל חוסם|חוסם]]''' [[משולש]] הוא מפגש ה[[אנך אמצעי|אנכים האמצעיים]] לצלעותיו.
# מרכז המעגל ה'''[[מעגל חסום|חסום]]''' במשולש הוא מפגש [[חוצה זווית|חוצי הזוויות]] שלו.
# ב[[מרובע]] החוסם מעגל, סכום זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג האחר.
# ב[[מרובע ציקלי|מרובע החסום במעגל]], סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.
# זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
# זווית הקפית נשענת על קוטר אם ורק אם היא [[זווית ישרה]] – כיוון שהיא נשענת על קשת שהיא [[חצי מעגל]].
# מספר זוויות היקפיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם – סכומן שווה 180.
# מספר זוויות מרכזיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם – סכומן שווה 360.
# שני משיקים לאותו מעגל, היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה.
# הקטע שבין נקודת הראייה של שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למרכז המעגל, חוצה את זווית הראייה.
# מכפלת חותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע משיק היוצא מאותה נקודה. (גודל זה מכונה [[דרגה של נקודה]])
# האנך למיתר ממרכז המעגל – חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה וחוצה את הקשת השייכת למיתר.
# מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז. מיתר גדול יותר קרוב למרכז מאשר מיתר קטן.
# חוצה זווית בין 2 מיתרים שווים – הוא רדיוס.
# [[משפט הפרפר]] – משפט מיתרים.
# [[אליפסה]] ששני מוקדיה מתלכדים היא מעגל.
# [[מעגל אפולוניוס]] הוא מעגל.
# במרובע קמור, מעגל העובר דרך נקודת חיתוך האלכסונים, דרך נקודת חיתוך המשכי הצלעות ודרך נקודות פנימיות של צלעות המרובע הוא מעגל היוצר נקודות פסקל.{{הערה|{{צ-ספר|מחבר=דוד פרייברט|שם=חידושים בגיאומטריה אוקלידית – תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו|מו"ל=הוצאת [[אקדמון]]|שנת הוצאה=2021}}|כיוון=ימין}}{{הערה|https://www.geogebra.org/m/e876nhdt}}{{הערה|https://www.geogebra.org/m/fykgx6tm}}
# [[משפט גלגל העין]] – מדבר על תכונה של זוג מעגלים זרים.

==עיגול==
'''עיגול סגור''' הוא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] שמרחקן מנקודה מסוימת, '''המרכז''', קטן או שווה לגודל קבוע.{{ש}} ניתן להגדיר עיגול סגור גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, לרבות המעגל עצמו.

'''עיגול פתוח''' הוא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] שמרחקן מנקודה מסוימת, '''המרכז''', קטן מגודל קבוע.{{ש}}
ניתן להגדיר עיגול פתוח גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, למעט המעגל עצמו.

'''עיגול''' הוא כל צורה המכילה את כל הנקודות התחומות על ידי מעגל ואולי גם נקודות על המעגל עצמו (בפרט עיגולים פתוחים ועיגולים סגורים הם עיגולים).

==חלקים של העיגול==
[[קובץ:Circle arc.svg|שמאל|120px]]
'''גזרה''' היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל.

היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח המעגל שווה ליחס בין זווית הגזרה לסיבוב שלם, השווה ליחס בין אורך הקשת של הגזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר ששטח הגזרה יהיה שווה:
<math>S = \frac{ \theta \cdot r^2}{2} = \frac{L \cdot r}{2} </math>
כאשר <math>L</math> הוא אורך הקשת והזוויות ברדיאנים.
 {{-}}
[[קובץ:Circle segment.jpg|שמאל|120px]]
'''מקטע''' הוא צורה הכלואה בין מיתר לקשת המתאימה לו.

שטח המקטע שווה להפרש בין שטח הגזרה הנכלאת בין 2 הרדיוסים המחוברים לקצוות המיתר לבין שטח המשולש שצלעותיו הן המיתר ו-2 הרדיוסים המחוברים לקצוותיו. כלומר שטחו שווה ל:

<math> \frac{R \cdot ( \theta \cdot R - d \cdot \cos (\theta/2) )}{2} = \frac{1}{2} R^2 \cdot \left( \theta - \sin (\theta))\ \right)</math>
כאשר <math>d</math> הוא מרחק המיתר.

==המעגל והעיגול בגאומטריה אנליטית==
משוואת המעגל ב[[גאומטריה אנליטית]] היא <math> \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>, כאשר <math> \!\, (x_0, y_0)</math> היא מרכז המעגל ו-<math>R</math> הוא מחוגו. ה'''עיגול הסגור''' מוגבל על ידי אי-השוויון החלש <math> \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2</math>. ה'''עיגול הפתוח''' מוגבל על ידי אי-השוויון החזק <math> \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2</math>.

באופן כללי, התבנית הריבועית <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math> מתארת מעגל אם ורק אם המרכיב הריבועי הוא כפולה של <math>x^2+y^2</math> (כלומר <math>A = C</math> ו-<math>B = 0</math>).

ארבע נקודות <math>\ P_i = (x_i,y_i)</math> (עבור i=1,2,3,4) נמצאות על אותו מעגל אם ורק אם <math>\ \sum_{\sigma \in S_4} \sgn(\sigma) x_{\sigma 1} y_{\sigma 2} (x_{\sigma 3}^2 + y_{\sigma 3}^2) = 0</math>, כאשר <math>\ S_4</math> היא [[החבורה הסימטרית]], ו-<math>\ \sgn</math> הוא ה[[סימן של תמורה|סימן]] של ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]].

==== מעגל קנוני ====
'''מעגל קנוני''' הוא מעגל שמרכזו הוא הנקודה <math>(0, 0)</math>. משוואתו של מעגל קנוני היא <math>x^2 + y^2 = R^2</math>. זהו מקרה פרטי של משוואת המעגל, כאשר במקרה של מעגל קנוני <math>x_0 = y_0 = 0</math>.

[[מעגל היחידה]] הוא מעגל קנוני בו <math>R = 1</math>. הנקודה <math>(0, 0)</math> עצמה היא [[מקרה מנוון]] של מעגל קנוני (כאשר <math>R = 0</math>).

==במקורות היהדות==
[[קובץ:Tosafot suka.png|ממוסגר|שמאל|האיור המלווה את פירוש התוספות, ב[[ש"ס וילנא|דפוס וילנא]]]]
ה[[תוספות]]{{הערה|ב[[מסכת סוכה]] (ח, א), ובמקומות אחרים}} מציגים שיטה לחישוב שטח העיגול: בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של [[מעגלים קונצנטריים]], ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. ייווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר [[משולש שווה-שוקיים]]. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים. השיטה המוצגת בתוספות היא שיטתו של [[אברהם בר חייא]].
:ברמב"ם הלכות טומאות מת פרק יב', הלכה ח'
"סאה שהיא מוטה על צדה באוויר אינה מביאה את הטומאה תחת כולה עד שיהיה בהיקפה ד' טפחים ומחצה בקרוב כדי שיהיה גובה הצד העליון טפח ומחצה ויהיה הטפח על טפח ממנה גבהו מעל הארץ טפח לפיכך אם הייתה גבוהה מעל הארץ חצי טפח והיה בהיקפה שלשה מביאה את הטומאה וכן עמוד עגול שהוא מוטל לאוויר ומונח על הארץ אינו מביא טומאה תחת דפנו עד שיהיה בו היקף כ"ד טפחים ואם אין בהיקפו עשרים וארבעה טפחים טומאה בוקעת ועולה בוקעת ויורדת זה שהצריכו עשרים וארבעה טפחים על העיקרין שסומכים עליהן חכמים בחשבון כל המשפטים שכל שיש בהיקפו שלשה יש בו רוחב טפח וכל טפח על טפח ברבוע יש באלכסונו טפח ושני חומשין לפיכך אם היה בהיקף העמוד עשרים וארבעה טפחים נמצא תחת כל דפנו טפח על רום טפח מרובע ויתר מעט שחשבונות אלו בקרוב הן."

== המעגל בתרבות ==
[[קובץ:ארוחה במעגל.JPG|שמאל|ממוזער|250px|[[קומונר]]ים ([[מדריך נוער|מדריכים]]) ב[[הנוער העובד והלומד|נוע"ל]] אוכלים ארוחת צהריים משותפת בצורה מעגלית.]]
[[קובץ:PikiWiki Israel 217 Immigration to Israel הורה צנסטחובה.jpg|שמאל|ממוזער|250px|ריקוד [[הורה (ריקוד)|הורה]] מעגלי ב[[השומר הצעיר|שומר הצעיר]] ב[[שנות ה-30 של המאה ה-20|שנות ה-30]]]]
בעבר שימש המעגל בסיס לתרבויות רבות, אך לאורך הזמן השימוש בו הלך ונתמעט במרבית החברות. עם זאת, חוקרים מראים כי כיום חוזרת העטרה ליושנה וצורת הישיבה במעגל שבה לשמש בהקשרים הולכים ורבים בחברה המודרנית.

המעגל, כצורת התכנסות או התוועדות של אנשים מאפשר מפגש "[[שוויון|שוויוני]]" בו כל אחד פונה ומסתכל אל כולם, להבדיל ממפגש פרונטלי כמו [[מרצה]] ו[[כיתה (בית ספר)|כיתה]], או [[שחקן]] מול [[קהל]]. ניתן למצוא דוגמאות להתכנסות מעגלית של בני אדם בתרבויות [[שבט]]יות המתכנסות לטקס סביב למדורה, באגדת [[אבירי השולחן העגול]] של [[המלך ארתור]], ב[[ריקודי עם]] וכדומה.

עם זאת, לעיתים קרובות אנשים מתכנסים (כיום ובמהלך ההיסטוריה) בצורת מעגל או קשת של מעגל כדי לצפות באירוע המתרחש במרכזו, כמו ב[[מופע רחוב|מופעי רחוב]], ב[[אצטדיון|אצטדיונים]] (לרוב לא עגולים), באולמי הופעות מסוימים ובאמפיתיאטראות כגון ה[[קולוסיאום]].

הצורה המעגלית הלכה והכתה שורשים גם בתחום הפדגוגיה שבחינוך, בשלוש רמות ביטוי שונות: הראשונה, בין התלמיד לבין המערכת הבית ספרית, ובה המעגל יכול ליצור מרחב מכיל ומכבד ביחס לקשיים המסגרתיים שעימם מתמודד התלמיד. השנייה היא בין התלמידים, ובה המעגל מאפשר הדרה חברתית, מציאת פתרונות יצירתיים לקונפליקטים בדרכי שלום, [[למידה]] חברתית, הטמעת ערכים, [[דיאלוג]] רפלקטיבי ועוד. הרמה השלישית היא בין המורים עצמם.

בחינוך בא רעיון ההתכנסות במעגל לידי ביטוי גם ב[[חינוך בלתי פורמלי]], וב[[תנועות נוער|תנועות הנוער]]. תנועות הנוער ה[[ציונות|ציוניות]] אף הורישו רעיון זה ל[[פלמ"ח]]. [[חיים חפר]] תיאר תרבות זו במאמר בעיתון "[[דבר (עיתון)|דבר]]" ב-1978, וכינה אותה "'''תרבות המעגל'''":
{{ציטוט|מרכאות=כן|תוכן="תרבות המעגל" שהתקיימה בתנועות הנוער ובתנועה הקיבוצית ובפלמ"ח ובעוד מסגרות רצוניות, טיפחה סגנון דיבור מיוחד. את מקום הנואם הגדול תפס המשוחח-המורה, המבקש לברר דברים, להבקיע יחדיו מן הספק, לשכנע בצוותא.{{הערה|{{דבר|ח-גי|תרבות המעגל|19780728|29}}}}}}

במקומות שונים בעולם קיימת מסורת של ציורי [[מנדלה|מנדלות]] שהן שרטוטים ססגוניים מעגליים, לעיתים בעלי משמעות פילוסופית או דתית.

המושג "מעגל" משמש לעיתים בשפה להצגת תהליכים מחזוריים (כגון [[מעגל החיים]], [[גלגל (בודהיזם)|המחזור האינסופי בבודהיזם]], [[גלגל המזלות]] או [[מעגל קרבס]]) או מצבים חסרי מוצא (כגון [[מעגל העוני]] או [[מעגל קסמים]]).

==ראו גם==
* [[אינוורסיה (גאומטריה)]]
* [[תנועה מעגלית]]
* [[כדור (גאומטריה)]]
* [[כיפה (מבנה)]]
{{-}}

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Circles|שם ויקישיתוף=מעגלים|ויקימילון=מעגל}}
* [http://www.education.gov.il/tochniyot_limudim/math/maagal.htm הסבר על המעגל] – מתוך המילון לגאומטריה של [[משרד החינוך]]
*[https://www.lergo.org/index.html#!/public/lessons/567ef0189d49924e06e2f5a7/intro מעגל ועיגול], באתר [[לרגו - למד בעצמך|לרגו]] ([https://www.lergo.org/index.html#!/public/homepage?lergoLanguage=he&lergoFilter.filterLanguage=%22hebrew%22 LerGO])
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Circle}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:מעגל|*]]
[[קטגוריה:עקומות]]
[[קטגוריה:חתכי חרוט]]