הצגת המקור של הדף "מעגל אפולוניוס"

[[קובץ:Apollonius circle definition labels.svg|שמאל|ממוזער|250px|הגדרת המעגל לפי אפולוניוס. לכל נקודה P היחס d<sub>1</sub>/d<sub>2</sub> קבוע.]]
'''מעגל אפולוניוס''' של זוג נקודות הוא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] שה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין [[מרחק]]יהן אל הנקודות הנתונות הוא קבוע.

המעגל קרוי על שמו של [[אפולוניוס מפרגה]], גאומטריקן מ[[יוון העתיקה]].

==הגדרה==
נתונות שתי נקודות A, B. מעגל אפולוניוס הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המקיימות <math>AP/BP=k</math> כאשר k קבוע חיובי השונה מ-1 (עבור k=1 מתקבל ה[[אנך אמצעי|אנך האמצעי]] לקטע AB).

==שקילות למעגל==
[[הוכחה|נוכיח]] שבמקרה ש-k שונה מ-1, מעגל אפולוניוס הוא [[מעגל]]:

תהיינה C,D הנקודות המקיימות את התנאי ונמצאות על הישר AB, כמודגם באיור (כאן נכנסת הדרישה ש-k שונה מ-1. במקרה k=1 יש רק נקודה אחת כזו על הישר, מרכז הקטע AB). תהי P נקודה נוספת על מעגל אפולוניוס. לפי הנתון <math>AP/BP=AC/BC=AD/BD</math>. לכן מ[[משפט חוצה הזווית]] ההפוך ל[[משולש]] <math>\triangle APB</math> נובע ש-PC [[חוצה זווית|חוצה את הזווית]] הפנימית ב-P ו-PD חוצה את הזווית החיצונית ב-P. מכיוון שסכום הזווית הפנימית והחיצונית הוא 180 מעלות, הזווית <math>\angle CPD</math> היא [[זווית ישרה]]. כלומר <math>\triangle CPD</math> הוא [[משולש ישר-זווית]] ה[[מעגל חוסם|חסום במעגל]] שה[[קוטר]] שלו הוא CD. לכן כל P על מעגל אפולוניוס נמצאת על המעגל הנ"ל. באותו אופן ניתן להראות שכל נקודה על המעגל שקוטרו CD נמצאת על מעגל אפולוניוס.

==תכונות==
* מרכז המעגל נמצא על ה[[ישר]] AB.
* כל מעגל שעובר דרך הנקודות A ו-B מאונך למעגל אפולוניוס (כלומר, ה[[משיק]]ים שיוצאים מנקודות החיתוך שלהם [[אנך|מאונכים]] זה לזה).
* אם מבצעים [[אינוורסיה (גאומטריה)|אינוורסיה]] יחסית למעגל אפולוניוס, A עובר ל-B ולהפך.
* לכל נקודה K הנמצאת על המעגל, אם הישר AK חותך את המעגל בנקודה M והישר BK חותך אותו בנקודה L, אזי M ו-L סימטריות ביחס לישר AB (כלומר הוא האנך האמצעי שלהן).

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:מעגל]]
[[קטגוריה:הוכחות]]