הצגת המקור של הדף "מעגל נושק"

[[קובץ:Osculating circle.svg|ממוזער|שמאל|מעגל נושק]]

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]] ובחקר של [[עקום|עקומים]], '''מעגל נושק''' (ב[[אנגלית]]: '''Osculating circle''') של עקום [[פונקציה חלקה|חלק]] מספיק בנקודה נתונה p על העקום מוגדר כ[[מעגל]] אשר מתקרב לעקום בצורה המרבית מבין כל המעגלים ה[[משיק]]ים לו בנקודה זו.

באופן אינטואיטיבי ניתן לתארו בתור המעגל שעובר דרך p ודרך שתי נקודות נוספות על העקום הקרובות [[אינפיניטסימל]]ית ל-p. מרכזו נח על חלקו הפנימי של ה[[נורמל]] של העקום בנקודה זו, ו[[עקמומיות]]ו זהה לזו של העקום בנקודה זו.
מרכזו ורדיוסו של המעגל הנושק נקראים בהתאמה '''[[מרכז עקמומיות|מרכז העקמומיות]]''' ו'''[[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]]''' של העקום בנקודה זו.

== תיאור אינטואיטיבי ==

המחשה יפה וקולעת למושג המעגל הנושק מתוארת בפסקה הבאה. נניח כי מכונית נעה לאורך מסלול עקום כלשהו על פני כביש מישורי נרחב. כעת נניח כי ברגע מסוים במהלך תנועתה ובנקודה מסוימת על פני העקום ההגה שלה ננעל במצבו הנוכחי הרגעי. המעגל שהמכונית תתווה לאחר מכן כתוצאה מכך הוא המעגל הנושק לעקום בנקודה זו. רדיוסו הוא [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] של העקום בנקודת הנעילה ו[[עקמומיות]]ו היא כשל העקום בנקודת הנעילה.

== תיאור מתמטי ==

יהי (γ(s [[עקום]] [[תיאור פרמטרי של עקום|פרמטרי]] [[עקום רגולרי|רגולרי]], כאשר s הוא [[אורך קשת|אורך הקשת]] של העקום ופרמטר לתיאורו. הצגה זו קובעת את וקטור היחידה המשיק T, את וקטור היחידה הנורמלי, את העקמומיות (k(s ואת רדיוס העקמומיות בכל נקודה על העקום:

<math display="block"> T(s)=\gamma'(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)=\frac{1}{\left|k(s)\right|}.</math>

נניח כי p היא נקודה על העקום c בה העקמומיות שונה מאפס. מרכז העקמומיות המתאים הוא בנקודה Q במרחק R לאורך N, באותו הכיוון אם k חיובי ובכיוון ההפוך אם k שלילי. המעגל בעל המרכז Q והרדיוס R נקרא '''המעגל הנושק''' לעקום C בנקודה P. 

אם C הוא עקום מרחבי רגולרי אז המעגל הנושק מוגדר בצורה דומה, באמצעות וקטור הנורמל N. המעגל שוכן ב[[מישור נושק|מישור הנושק]], המישור הנפרש על ידי הווקטור המשיק ווקטור הנורמל T ו-N בנקודה P.

אם העקום המישורי נתון בפרמטריטזיציה רגולרית אחרת
<center><math> \gamma(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\
x_2(t) \end{pmatrix}\, </math> 
</center>
כאשר רגולרי פירושו <math>\gamma'(t)\ne 0</math> עבור כל t. אז הנוסחאות לעקמומיות (''k''(''t'', וקטור היחידה הנורמלי (''N''(''t'', רדיוס העקמומיות (''R''(''t'' והמרכז (''Q''(''t'' הן:

<center><math>k(t) = \frac{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)}{\Big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \Big)^{\frac{3}{2}}} \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad N(t)\,=\,\frac{1}{|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{pmatrix}</math>,

<math>R(t) = \left| \frac{\Big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \Big)^{\frac{3}{2}}}{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)} \right|\qquad\qquad \mathrm{and} \qquad\qquad Q(t)\,=\,\gamma(t)\,+ \, \frac{1}{k(t)\cdot|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{pmatrix}\,. </math>
</center>

== תכונות ==

עבור עקום C הנתון על ידי משוואות פרמטריות חלקות מספיק (גזירות ברציפות לפחות פעמיים), המעגל הנושק ניתן לבנייה באמצעות גבול מתאים: זהו הגבול של כל המעגלים העוברים דרך שלוש נקודות שונות על C כאשר נקודות אלו שואפות ל-P. זה אנלוגי לחלוטין לבנייה של [[משיק]] לעקום כגבול של מיתרים העוברים דרך זוגות של נקודות על C כשאלו שואפות ל-P.

המעגל הנושק S לעקום מישורי C בנקודה נתונה P ניתן לאפיון באמצעות התכונות הבאות:

* המעגל S חולף דרך P.
* למעגל S ולעקום C יש משיק משותף בנקודה P, ולפיכך גם קו נורמל משותף.
* בסביבת P, המרחק בין הנקודות של העקום C והמעגל S בכיוון הנורמלי דועך לפי החזקה השלישית או חזקה גבוהה יותר של המרחק ל-P בכיוון המשיקי.

באופן מילולי ניתן לומר כי "לעקום ולמעגל הנושק שלו יש מגע מסדר שני או גבוה יותר" ב-P. במילים אחרות, הפונקציות הווקטוריות שמייצגות את C ואת S זהות בנגזרות הראשונה והשנייה שלהן ב-P.

אם הנגזרת של העקמומיות לפי s שונה מאפס ב-P אז המעגל הנושק בנקודה חוצה את העקום C בנקודה P. נקודות שבהן הנגזרת של העקמומיות היא אפס מכונות [[קודקוד (עקום)|קודקוד]] של העקום. אם P היא קודקוד אז לעקום C ולמעגל הנושק לו בנקודה זו מגע מסדר רביעי לפחות. אם, יותר מכך, לעקמומיות יש אף מינימום או [[מקסימום מקומי]] שונה מאפס ב-P, אזי המעגל הנושק נוגע בעקום C ב-P אבל אינו חוצה אותו.

העקום C ניתן לבנייה כ[[מעטפת (מתמטיקה)|מעטפת]] של משפחה בת פרמטר אחד של המעגלים הנושקים שלו. מרכזיהם, דהיינו מרכזי העקמומיות שלהם, יוצרים עקום אחר, הנקרא ה[[אוולוט]] של C. קודקודים על C מתאימים לנקודות יחידות על האוולוט שלו.

== דוגמאות ==
===פרבולה=== 
[[קובץ:Krümmungskreis-Parabel.png|ממוזער|250px|לפרבולה בדוגמה מתקיים מעגל הנושק בקודקוד שלה בעל רדיוס 0.5 ובעל מגע מסדר רביעי עמה.]]

עבור הפרבולה:

<math>\gamma(t) = \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}</math>

ורדיוס העקמומיות הוא:

<math>R(t)= \left| \frac{ \left(1+4\cdot t^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{2} \right| </math>

בקודקוד מתקיים <math>\gamma(0) = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}</math> ורדיוס העקמומיות שווה ל-0.5. לפרבולה יש מגע מסדר רביעי עם המעגל הנושק לה בנקודה זו. עבור t-ים גדולים רדיוס העקמומיות גדל בקצב יחסי ל-~ ''t<sup>3</sup>'', והעקום הולך ונעשה קרוב יותר ויותר לישר.

===עקום ליסאז'ו===
[[קובץ:Lissajous-Curve+OsculatingCircle+3vectors_animated.gif|ממוזער|250px|תיאור של המעגל הנושק לעקום ליסז'וס]]
[[עקום ליסאז'ו]] בעל יחס תדירויות 2:3 ניתן להצגה פרמטרית באופן הבא:
<center><math> \gamma(t)\,= \, \begin{pmatrix} \cos(3t) \\
\sin(2t) \end{pmatrix}\, </math>
</center>
העקמומיות (k(t, וקטור היחידה הנורמלי (N(t ורדיוס העקמומיות (R(t שלו הם:

<center><math>k(t) = \frac{6\cos(t)(8\cos(t)^4-10\cos(t)^2+5)}{(232\cos(t)^4-97\cos(t)^2+13-144\cos(t)^6)^{3/2}}\,, </math>
<math>N(t)\,=\,\frac{1}{|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -2\cos(2t) \\ -3\sin(3t)
\end{pmatrix}</math>
</center>ו-:
<math display="block">R(t) = \left| \frac{(232\cos(t)^4-97\cos(t)^2+13-144\cos(t)^6)^{3/2}}{6\cos(t)(8\cos(t)^4-10\cos(t)^2+5)} \right|\,.</math>

==היסטוריה==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע|נושא2=מדע וטכנולוגיה}}
המעגל הנושק כונה כך
על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]].
בנייה גאומטרית של המעגל תוארה על ידי [[אייזק ניוטון]] בספרו [[העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע|פרינקיפיה]] משנת [[1687]]:

{{ציטוט|תוכן=בהינתן, בכל מקום כלשהו, המהירות שבה גוף נתון מתווה צורה מסוימת, ובמונחים של כוח שכיוונו למרכז מסוים: למצוא את המרכז הזה|מקור=אייזק ניוטון, פרינקיפיה, טענה 5, בעיה 1.|מרכאות=כן}}

==ראו גם ==
* [[רדיוס עקמומיות]]
* [[עקמומיות]]
* [[מישור נושק]]

==לקריאה נוספת==
* מבוא לגאומטריה דיפרנציאלית, מיכאל פרבר

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]