הצגת המקור של הדף "מערכת הנון-היילס"

[[קובץ:Henon Heiles contour plot.png|ממוזער|250x250 פיקסלים|קווים שווי אנרגיה של פוטנציאל הנון-היילס]]
'''מערכת הנון-היילס''' (ב[[אנגלית]]: '''Hénon–Heiles system''') היא מערכת [[תורת הכאוס|כאוטית]] [[מכניקה קלאסית|קלאסית]] יסודית המתארת בעיה [[אסטרונומיה|אסטרונומית]] של [[כוכב]] המסתובב סביב מרכז [[גלקסיה|גלקטי]] בתנועה לא ליניארית המוגבלת ל[[מישור (גאומטריה)|מישור]]. המערכת תוארה לראשונה בשנת [[1962]] על ידי האסטרונום הצרפתי מישל הנון ועמיתו האמריקאי קארל היילס. בשנת [[1964]] פרסמו השניים מאמר שכותרתו "יישומיות ה[[אינטגרל]] השלישי של התנועה: ניסויים נומריים אחדים" (The applicability of the third integral of motion: Some numerical experiments, ראה אור בכתב העת The Astronomical Journal).

לצורך תיאור המערכת לעיל, הנון והיילס השתמשו בפוטנציאל לא ליניארי פשטני ודו־ממדי בעל [[סימטריה]] סביב ציר אלכסוני, ומצאו כי האינטגרל השלישי, שהוא למעשה קבוע תנועה, קיים עבור סך מוגבל של [[תנאי שפה|תנאי התחלה]] אפשריים. במונחים בני זמננו, תנאי ההתחלה שעבורם לא מתקבל האינטגרל השלישי של התנועה, נקראים מסלולים כאוטיים.

== תיאור מתמטי ==
פוטנציאל הנון-היילס הוא כדלקמן (ביחידות מנורמלות):

: <math>
V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + \lambda \left(x^2y - \frac{y^3}{3}\right).
</math>

כאשר הפרמטר <math>\lambda</math> הוא חסר יחידות, ובדרך כלל נלקח כ-1 לשם פשטות.

בהתאם, ה[[המילטוניאן]] של המערכת, אשר מורכב מה[[אנרגיה קינטית|אנרגיה הקינטית]] ומהפוטנציאל גם יחד, הוא:

: <math> H = \frac12 (p_x^2 + p_y^2) + \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + \lambda \left(x^2y - \frac{y^3}{3}\right).</math>

ארבע המשוואות המצומדות שיתקבלו מהצבת המילטוניאן זה ב[[משוואות המילטון]], הן:

: <math> \dot{x} = p_x, </math>
: <math> \dot{p_x} = -x - 2\lambda xy, </math>
: <math> \dot{y} = p_y, </math>
: <math> \dot{p_y} = -y - \lambda(x^2 - y^2).</math>

פתרונה הנומרי של המערכת ניתן לעיתים לטיפול באמצעות Painlevé transcendents {{אנ|Painlevé_transcendents}}. כאנלוג קוונטי, ניתן להציב את המילטוניאן הנון-היילס בתוך [[משוואת שרדינגר]].

== לקריאה נוספת ==
* [https://adsabs.harvard.edu/full/1964AJ.....69...73H/0000073.000.html '''המאמר המקורי של הנון והיילס'''], באתר אוניברסיטת הרווארד
* [http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html מערכת הנון-היילס], באתר Wolfram MathWorld
*''Classical and Quantum Chaos'', Martin C. Gutzwiller, p.102

{{ערך יתום}}

[[קטגוריה:מכניקה אנליטית]]
[[קטגוריה:תורת הכאוס]]