הצגת המקור של הדף "מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים"

בתורת ההסתברות, קבוצה של n [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] היא '''מערכת לא-טרנזיטיבית''' אם היא כוללת שרשרת של משתנים <math>\ X_0,\dots,X_{n-1}</math> כך ש-<math>\ P(X_i > X_{i+1 \pmod{n}}) > 1/2</math> לכל <math>i = 0,\ldots,n-1</math>, בדומה לדירוג המצבים המעגלי במשחק [[אבן נייר ומספריים]].

אומרים שמשתנה מקרי X '''עדיף על''' משתנה מקרי Y, אם הסיכוי לכך ש- X>Y הוא יותר מחצי. העובדה שקיימות מערכות לא-טרנזיטיביות של משתנים מקריים מדגימה ש[[יחס בינארי|יחס]] העדיפות אינו [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], בניגוד לתפיסה האינטואיטיבית המכתיבה שאם X עדיף על Y ו-Y עדיף על Z, אז יש לצפות גם לכך ש-X עדיף על Z.

את העדר הטרנזיטיביות אפשר לנסח גם כך: לכל אחד מן המשתנים X בשרשרת, יש משתנה Y ש- X עדיף ממנו, ויש משתנה Z העדיף על X. כלומר, לא קיים משתנה בעל עדיפות גבוהה ביותר או נמוכה ביותר.

== דוגמה ==
=== קוביות אפרון ===

את המשתנים המקריים אפשר לממש באמצעות [[קוביית משחק|קוביות משחק]] שהסיכוי שלהן ליפול על כל פאה הוא שישית. מערכת '''הקוביות של אפרון''' (שגילה הסטטיסטיקאי ברדלי אפרון) מורכבת מארבע קוביות באופן הבא: 
* A: הערכים 4, 4, 4, 4, 0, 0
* B: הערכים 3, 3, 3, 3, 3, 3
* C: הערכים 2, 2, 2, 2, 6, 6
* D: הערכים 5, 5, 5, 1, 1, 1

במערכת הזו A עדיף על B; B עדיף על C; C עדיף על D; ו- D עדיף על A - בכל מקרה, הסיכוי לערך גבוה יותר במשתנה העדיף הוא 2/3. לכן השרשרת A, B, C, D אינה טרנזיטיבית. הסיכוי ל- C>A הוא 5/9, ולכן גם השלשה A,B,C אינה טרנזיטיבית (הסיכוי ל- B>D ול- D>B הוא 1/2, כך שאף אחד משני משתנים אלה אינו עדיף על רעהו).

=== משתנים בעלי שני ערכים ===

נסמן <math>\ \phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618</math>, [[יחס הזהב]], ו- <math>\ \phi' = \phi - 1 \approx 0.618</math>. נגדיר משתנים X, Y, Z כך ש-X מקבל את הערכים 3,0 בסיכויים <math>\ \phi',1-\phi'</math>, בהתאמה; Z מקבל את הערכים 1,4 באותם סיכויים, ואילו Y=2 קבוע. אז X עדיף על Y, העדיף על Z, וזה עדיף על X - כל העדיפויות בסיכוי <math>\ \phi'>\frac{1}{2}</math>.

== עדיפות בתורת המשחקים ==
את עקרון העדיפות אפשר להדגים באמצעות משחק לשני שחקנים. השחקן הראשון בוחר קובייה ממערכת קוביות נתונה, והשחקן השני בוחר אחריו; אז מטילים שני השחקנים את הקוביות שלהם, והשחקן שקיבל תוצאה גבוהה יותר מנצח. אם מערכת הקוביות היא שרשרת לא-טרנזיטיבית, אז השחקן השני יכול להבטיח ניצחון בהסתברות גדולה מ-1/2, אף על פי שלראשון יש, לכאורה, היתרון שבזכות הבחירה.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]