הצגת המקור של הדף "מערכת צירים קרטזית"

{{קואורדינטות}}

'''מערכת הצירים הקַרְטֶזית''' היא [[קואורדינטות|מערכת צירים]] שהגה בשנת 1637 ה[[מתמטיקאי]] וה[[פילוסוף]] ה[[צרפת]]י [[רנה דקארט]], המאפשרת להציג כל נקודה ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] באופן ייחודי על ידי זוג מספרים ממשיים הנקראים קואורדינטות. ב[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת-ממדי]] כל נקודה מיוצגת על ידי שלוש קואורדינטות.

במערכת צירים זו הציר השמאלי מייצג את הציר [[מספר שלילי|השלילי]] (על ידי מספרים בעלי מקדם שלילי) והציר הימני מייצג את הצד החיובי (על ידי מספרים בעלי מקדם חיובי). כך למשל הספרה 1 נמצאת בציר הימני והספרה 1- נמצאת בציר השלילי. כיוון הצירים החיובי והשלילי נבחרו באופן שרירותי, ובאותה מידה עשויים להיות נכונים גם אם הופכים אותם. ישנה השערה שהציר החיובי נעשה במקביל לכתיבה הנורמלית ('בחיובית') של הכתיבה באותיות הלטיניות שבה רנה דקארט השתמש, והציר השלילי במקביל לכתיבה הנגדית של רצף הכתיבה הנ"ל. 

== הגדרה רשמית ==

מערכת הצירים הקרטזית (ב[[מרחב אוקלידי]] מ[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] n) היא מערכת המורכבת מ-n [[וקטור יחידה|וקטורי יחידה]] ה[[אורתוגונליות|ניצבים]] זה לזה. 

כלומר: איברי ה[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] היוצרים אותם הם <math>\ 1 \le i \le n \ : \ \vec{e_i}</math> כאשר הכוונה כאן היא ל-[[n-יה סדורה]] שבה יש 1 במקום ה-i ו-0 בשאר המקומות. 

בסיס זה נקרא [[הבסיס הסטנדרטי]]. בסיס זה מהווה [[מערכת אורתונורמלית שלמה|בסיס אורתונורמלי]] קבוע.

==שימושים במערכת הצירים==

ברוב המקרים בהם מדובר על מערכת צירים, הכוונה היא למערכת צירים קרטזית. השימוש בה מתאפיין בעיקר בשני המקרים הפרטיים של המישור ( <math>\mathbb{R}^2</math> ) ושל המרחב התלת-ממדי ( <math>\mathbb{R}^3</math> ), שאותם קל לתפוש ולשרטט.

קיים שימוש במערכות צירים נוספות למערכת הצירים הקרטזית, בהם רק ה[[פיזיקה]], ה[[מתמטיקה]], הניווט וה[[גאודזיה]] עושים שימוש נרחב.

===מערכת צירים דו-ממדית===

מערכת הצירים הקרטזית המודרנית מוגדרת לרוב על ידי שני [[קו ישר|קווים ישרים]] הנקראים צירים, הממוקמים ב[[זווית ישרה]] אחד מהשני, ויוצרים [[מישור (גאומטריה)|מישור]] (מישור ה-xy). הציר ה[[אופקיות|אופקי]] מסומן ב-x, והציר ה[[אנכיות|אנכי]] מסומן ב-y.

נקודת החיתוך של הצירים נקראת '''ראשית הצירים''' ומסומנת לרוב באות הלועזית O, והיא בעלת קואורדינטות (0,0). כדי לציין נקודה מסוימת במערכת צירים זו, מציינים את יחידת ה-x ואת יחידת ה-y של הנקודה ויוצרים את [[זוג סדור|הזוג הסדור]] (x,y). במערכת צירים תלת-ממדית נוספת גם יחידת z ונוצרת השלשה הסדורה (x,y,z).

ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] '''p''' בתמונה הבאה נמצאת במיקום (3,5).

[[קובץ:Cartesiancoordinates2D he.svg|350px]]

מקרה זה משמש:
#תרגום של [[גאומטריה אוקלידית]] ל[[גאומטריה אנליטית]].
#ציור גרפים של תופעות (למשל מכירות) לפי זמן.
#הצגה של גרפיקה על מסך המחשב.
#שרטוט [[מפה|מפות גאוגרפיות]] (דו-ממדיות) ושימוש במערכת צירים קרטזית על מנת לתת נקודות ציון ([[קואורדינטות]]) למקומות חשובים על גבי המפה. ראו גם: [[קו אורך|קווי אורך]] ו[[קו רוחב|קווי רוחב]].

===מערכת צירים תלת-ממדית===
בתחילת [[המאה ה-19]] נוסף ממד נוסף של מדידה, בעזרת ציר ה-z.

[[קובץ:Cartesian coordinates 3D he.svg|300px]]
[[קובץ:מערכת צירים 3D קרטזית ימנית.svg|350px]]

הבסיס של מערכת צירים זאת הוא
: <math>\ \hat{x} = \hat{e_1} = (1,0,0) \quad \hat{y} = \hat{e_2} = (0,1,0) \quad \hat{z} = \hat{e_3} = (0,0,1)</math>
וקל לראות שהם אכן ניצבים גאומטרית וכן [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] ביחס ל[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] הסטנדרטית. יתרה מכך, וקטורי הבסיס מהווים [[ימין ושמאל (כיוונים במרחב)|שלשה ימנית]] כפי שניתן לראות מביצוע [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]] שלהם: <math>\ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}</math>.

הקואורדינטות הקרטזיות ב-<math>\mathbb{R}^3</math> משמשות כמבנה נוח ושימושי ביותר לתיאור ה[[מרחב תלת־ממדי|מרחב התלת־ממדי]], לצורכי [[אנליזה וקטורית]] ותיאור [[שדה (פיזיקה)|שדות פיזיקליים]].

תיאור זה רווח במיוחד ב[[פיזיקה]] ובו מערכת הצירים היא גם קונסטרוקציה אלגברית ולא גאומטרית גרידא.

==ראו גם==
*[[בסיס (אלגברה)]]
*[[קואורדינטות (אלגברה)]]
*[[בסיס אורתונורמלי]]
*[[מעגל היחידה]]
*[[אנליזה וקטורית]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*[https://www.lergo.org/index.html#!/public/lessons/5926873469f35449df698665/intro מערכת צירים], באתר [[לרגו - למד בעצמך|לרגו]] ([https://www.lergo.org/index.html#!/public/homepage?lergoLanguage=he&lergoFilter.filterLanguage=%22hebrew%22 LerGO])
*{{MathWorld|CartesianCoordinates}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:קואורדינטות]]
[[קטגוריה:גאומטריה אנליטית]]
[[קטגוריה:רנה דקארט]]

[[fi:Koordinaatisto#Suorakulmainen koordinaatisto]]