הצגת המקור של הדף "מצב בל"

'''מצב בֶּל''' הוא [[מצב קוונטי]] של מערכת המכילה שני [[קיוביט]]ים [[שזירות|שזורים]]. מצבי בל קרויים על שם החוקר [[ג'ון סטיוארט בל]] (John S. Bell), לאור העובדה שמצבים אלו מפירים אי-שוויון ידוע, [[אי שוויון בל]] אשר נוסח על ידו.

== אי שוויון בל ==
על מנת להסביר את הרעיון העומד מאוחרי מצבי בל, נתחיל עם דוגמה בעולם הקלאסי. נניח ש[[אליס ובוב]] משחקים את המשחק הבא:
# כל אחד מהם מקבל 2 קיוביטים זהים
# כל אחד מהם מודד את אחד הקיוביטים שלו ב[[בסיס החישוב]] (<math>|0\rangle,|1\rangle</math>) ואת השני ב[[בסיס אדמר]] (<math>|+\rangle,|-\rangle</math>).
# אליס שומרת את התוצאה של המדידה בבסיס החישוב ב[[משתנה]] <math> a</math> ואת התוצאה של המדידה בבסיס אדמר במשתנה <math>a_H</math>. באופן זהה בוב שומר את התוצאה במשתנים <math>b, b_H</math>
# אם נמדד המצב <math>|0\rangle</math> או המצב <math>|+\rangle</math> שומרים במשתנה את הערך 1, ואחרת את הערך 1-.
[[אי שוויון בל]] קובע כי ה[[תוחלת]] הבאה קטנה או שווה לערך 2:
<math display="block">E[ab]-E[a_Hb]+E[a_Hb_H]+E[ab_H] \leq 2</math>
אי השוויון נובע משיקולים של [[תורת ההסתברות]], ונכון באופן כללי, ללא קשר ל[[מכניקת הקוונטים]].

באופן מפתיע, אם נבצע את הניסוי המתואר לעיל, כאשר אליס מקבלת חצי ממצב בל, ובוב מקבל את החצי השני, אי-השוויון מופר, והתוחלת מקבלת ערך הגבוה מ-2.

== מצבי בל ==
ארבעת מצבי בל הם מצבים של שני קיוביטים שזורים מקסימלית (כלומר - מפירים את [[אי-שוויון בל]] באופן מקסימלי) המוגדרים באופן הבא
<div style="text-align: center;">
<math>
\begin{matrix}
|\Phi^+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\
|\Phi^-\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\
|\Psi^+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \\
|\Psi^-\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B)
\end{matrix}
</math>
</div>
ניקח לדוגמה את המצב <math>|\Psi^-\rangle</math> (מצב זה יידוע גם בשם [[סינגלט]]). בהנחה שאליס מדדה בבסיס החישוב אל הערך <math>|0\rangle</math>
המדידה של בוב תתן את הערך <math>|1\rangle</math>, ולהפך, אם אליס מדדה <math>|1\rangle</math> בוב ימדוד <math>|0\rangle</math>. אין חשיבות לסדר בו הם מודדים או למיקומם. למשל - אליס יכולה להיות על [[הירח]] בעוד בוב על [[כדור הארץ]], עדיין, כאשר אליס מודדת את הקיוביט שברשותה, בו-ברגע נקבע מצב הקיוביט אצל בוב. חשוב לציין כי טרם ביצוע המדידה (אצל הראשון מביניהם), לא ניתן לקבוע מה תהיה תוצאת המדידה: קיימת הסתברות שווה לקבל 0 או 1.

תכונה זו אינה משתנה כאשר אליס ובוב משתמשים בבסיס אחר. להדגמה, נניח שימוש בבסיס אדמר. נשתמש בשיוונות הבאים
<math>|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)</math> ו
<math>|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)</math>
ונקבל

<math>
\begin{align}
|\Psi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \\
 &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle+|-\rangle\right)_A \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)_B -
 \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)_A \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)_B\right ) \\ 
&=\frac{1}{\sqrt{2}} (|+\rangle_A \otimes |-\rangle_B - |-\rangle_A \otimes |+\rangle_B) 
\end{align}
</math>

באופן דומה, הסינגלט ניתן לרישום בצורה <math>|\Psi^-\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|e_1\rangle_A \otimes |e_2\rangle_B - |e_2\rangle_A \otimes |e_1\rangle_B)</math> עבור כל בסיס נתון <math>\{|e_1\rangle, |e_2\rangle\}</math>.

=== השלכות על שוויון בל ===
נחזור על הניסוי המתואר לעיל (באופן מחשבתי). 
# אליס מקבלת קיוביט אחד ממצב הסינגלט, ובוב מקבל את החצי השני. 
# כל אחד מהם בוחר באיזה בסיס לבצע מדידה - בבסיס החישוב או בבסיס אדמר.
# את התוצאה שומרים כמקודם במשתנה המתאים
קל לראות, כי אם אליס ובוב מדדו באותו הבסיס, תמיד יקבלו '''ערכים שונים''', כלומר <math>E[ab]=E[a_Hb_H]=-1</math> בעוד כאשר הבסיסים שלהם אינם תואמים, המשתנים שלהם יהיו שווים בהסתברות חצי, ושונים בהסתברות חצי, לפיכך <math>E[a_Hb]=E[ab_H]=0</math>. 
במקרה זה אי-השוויון של בל עודנו תקף.

נחזור על הניסוי אך טרם המדידה של בוב נבצע סיבוב של הקיוביט של בוב בעזרת ה[[שער קוונטי|שער הקוונטי]] המוגדר על ידי האופרטור 
<math>R_\theta = \begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}</math>
(הפעלת השער ומדידה בבסיס החישוב/אדמר, שקולה לביצוע מדידה על ידי בסיסים המסובבים בזווית <math>\theta</math> מבסיס החישוב/אדמר).
חישוב התוחלת מחדש מראה כי 
<math display="block">E[ab]=E[a_Hb_H]=-\cos(2\theta), \, E[ab_H]=-\sin(2\theta), \, E[a_Hb]=\sin(2\theta)</math>
כך שעבור <math>\theta = 5\pi/8</math> מתקבל ערך תוחלת של <math>2\sqrt{2}</math> אשר מפר את אי-השוויון.

== שימושים והערות ==
* מצבי בל הם כלי עיקרי ב[[חישוב קוונטי]] ומאפשרים ביצוע פעולות כגון [[טלפורטציה קוונטית]]. 
* חלק מפרוטוקולי [[הצפנה קוונטית]] עושים שימוש במצבי בל.
* ארבעת מצבי בל מהווים [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] עבור מערכת קוונטית ארבע-ממדית (כלומר - בסיס עבור שני קיוביטים).

==ראו גם==
* [[הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן]]

[[קטגוריה:חישוב קוונטי]]