הצגת המקור של הדף "מקדמי קלבש-גורדן"

ב[[מכניקת הקוונטים]], '''מקדמי קלבש-גורדן''' הם מקדמים המשמשים לבניית [[מצב קוונטי|מצבים עצמיים]] של [[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]] הכולל של מערכת מורכבת מתוך מצבים עצמיים של תנע זוויתי של תת-מערכות שלה.

==מרחב המכפלה החיצונית==
נתונה מערכת המורכבת משתי תת-מערכות.

יהי <math>\ V_1</math> מרחב וקטורי <math>\ 2j_1+1</math> ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של <math>j_1^2, j_{z1}</math>, התנע הזוויתי של תת-המערכת הראשונה ורכיב <math>\ z</math> שלו:

:<math>|j_1 m_1 \rangle \quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1</math>

ויהי <math>\ V_2</math> מרחב וקטורי <math>\ 2j_2+1</math> ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של <math>j_2^2, j_{z2}</math>, של תת-המערכת השנייה:

:<math>|j_2 m_2 \rangle \quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2</math>

מרחב המצבים של המערכת הכוללת הוא מרחב <math>\ (2j_1+1)(2j_2+1)</math> ממדי, הנתון על ידי [[מכפלה טנזורית|המכפלה]] של שני המרחבים הנפרדים <math>V_{12} \equiv V_1 \otimes V_2</math>.
בסיס אפשרי למרחב זה הוא סט מצבי המכפלה החיצונית של המצבים הנפרדים

:<math>|j_1 m_1 \rangle |j_2 m_2 \rangle \equiv |j_1 m_1 \rangle \otimes |j_2 m_2 \rangle</math>

כאשר הסימון <math> \otimes </math> מייצג את אופרטור ה[[מכפלה טנזורית]].

==התנע הזוויתי הכולל של המערכת המורכבת==
נגדיר אופרטורים הפועלים במרחב <math>\ V_{12}</math> באמצעות רכיבי התנעים הזוויתיים הנפרדים (כאן <math>\mathbf{1}</math> מייצג את אופרטור היחידה)

:<math>J_i \equiv j_{i1} \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes j_{i2}\quad\mathrm{for}\quad i = x,y,z</math>

כל מכפלה כזאת פועלת על מרחב המצבים של המערכת הכוללת באופן הבא

:<math>(j_{i1} \otimes \mathbf{1})|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_{i1}|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle</math>

:<math>(\mathbf{1} \otimes j_{i2}) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle) \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_{i2}|j_2m_2\rangle</math>

אופרטורים אלו מקיימים את [[קומוטטור|יחסי החילוף]] של רכיבי תנע זוויתי

:<math>[J_k,J_l] = i \sum_{m=1}^3 \epsilon_{klm}J_m</math>

לפיכך נוכל להגדיר את התנע הזוויתי הכולל של המערכת, שאופרטורים אלו הם רכיביו, ואשר מקיים

:<math>\mathbf{J}^2 |j_1j_2JM\rangle = J(J+1) |j_1j_2JM\rangle</math>

:<math>J_z |j_1j_2JM\rangle = M |j_1j_2JM\rangle,\quad \mathrm{for}\quad M=-J,\ldots,J</math>

כאשר <math>|j_1j_2JM\rangle</math> הם המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל (וגם של התנעים הזוויתיים הנפרדים), והם פורסים את המרחב <math>\ V_{12}</math>. כמו כן <math>\ J</math> מקיים את אי שוויון המשולש

:<math>|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2</math>

==הגדרת מקדמי קלבש גורדן==
מצבי המכפלה מהווים בסיס של המרחב <math>\ V_{12}</math>, מכאן שניתן להביע כל מצב במרחב כ[[צירוף ליניארי]] שלהם. בפרט, ניתן להביע את המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל בבסיס זה:

:<math>|j_1j_2JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
 |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|j_1j_2JM\rangle</math>

מקדמי הצירוף הליניארי <math>\langle j_1m_1j_2m_2|j_1j_2JM\rangle</math> נקראים '''מקדמי קלבש גורדן'''. נהוג להשמיט את <math>\ j_1j_2</math>, ולסמן את המקדמים בקיצור <math>\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle</math>.

על ידי הגדרת אופרטורי סולם של התנע הזוויתי הכולל ניתן למצוא יחסי [[רקורסיה]] שבאמצעותם ניתן לחשב את מקדמי קלבש גורדן במפורש. את יחסי הרקורסיה מצא [[יואל רקח]] בשנת 1941.

==תכונות==
הפעלת האופרטור <math>J_z = j_{z1} \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes j_{z2}</math> על המשוואה המגדירה את המקדמים מראה שהמקדמים מתאפסים אלא אם מתקיים

:<math>\ M = m_1 + m_2</math>

בנוסף, המקדמים מקיימים

:<math>\langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle</math>

ואת יחסי האורתוגונליות:

:<math>\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
 \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
 = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}</math>

:<math>\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
 \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle
 = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}</math>

==שימושים==
כאמור, המקדמים משמשים לבניית מצבים של התנע הזוויתי הכולל מתוך מצבים של התנעים הזוויתיים הנפרדים.
בנוסף, לתכונות מקדמי קלבש גורדן יש חשיבות בקביעת [[כללי ברירה]] של מעברים קרינתיים תוך שימוש ב[[משפט ויגנר-אקרט]].

==קישורים חיצוניים==
*[http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf קובץ המכיל טבלת מקדמי קלבש-גורדן, הרמוניות ספריות ומטריצות d של ויגנר.]
* [[:en:Table of Clebsch-Gordan coefficients|טבלאות של מקדמי קלבש גורדן, מתוך ויקיפדיה האנגלית]]
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]