הצגת המקור של הדף "מרחב אולטרה-מטרי"

'''מרחב אולטרה-מטרי''' הוא מרחב שמוגדרת עליו [[מטריקה]] המקיימת את האקסיומה <math> \ d(x,y) \leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}</math> ([[פונקציה]] כזו נקראת '''אולטרה-מטריקה'''). מטריקה היא אולטרה-מטריקה אם ורק אם כל משולש בה הוא [[משולש שווה-שוקיים|שווה-שוקיים]]. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מ[[הערכה של שדה|הערכות]] לא ארכימדיות של [[שדה (מתמטיקה)|שדות]]. אכן, כל מרחב אולטרה-מטרי ניתן לשיכון איזומטרי בשדה עם הערכה{{הערה| W. H. Schikhof, Isometrical embeddings of ultrametric spaces into non-Archimedean valued fields, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 46 (1984), no. 1, 51–53. MR748978}}.

במרחב אולטרה-מטרי כל נקודה בכדור היא מרכז של הכדור. כל כדור הוא פתוח וסגור. אם שני כדורים אינם זרים, אז אחד מהם מוכל בשני. קבוצת המרחקים ב[[השלמה של מרחב מטרי|השלמה]] של מרחב אולטרה-מטרי שווה לקבוצת המרחקים במרחב המקורי (זאת בניגוד לסתם [[מרחב מטרי]], שבו נוצרים בהשלמה בדרך כלל מרחקים חדשים).

[[מרחב טופולוגי]] שהטופולוגיה שלו מושרית על ידי אולטרה-מטריקה הוא '''מרחב אולטרה-מטריזבילי'''. מרחב טופולוגי הוא '''לא ארכימדי''' אם הוא [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]] ויש לו בסיס שבו כל שתי קבוצות שאינן מוכלות זו בזו הן זרות. מרחב הוא אולטרה-מטריזבילי אם ורק אם הוא מטריזבילי ולא ארכימדי. כל [[מרחב מכפלה|מכפלה]] בת-מניה של מרחבים אולטרה-מטריזביליים היא אולטרה-מטריזבילית.

קבוצת הכדורים מהווה בסיס של המרחב, ומכיוון שהכדורים במרחב אולטרה-מטרי הם פתוחים-וסגורים, המרחב [[מרחב בלתי קשיר לחלוטין|בלתי קשיר לחלוטין]] (מאידך, מרחב מטרי שלם ובלתי קשיר לחלוטין אינו בהכרח אולטרה-מטריזבילי). מרחב טופולוגי הוא אולטרה-מטריזבילי וספרבילי אם ורק אם הוא [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]], מקיים את [[תכונת המניה השנייה]] ויש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות.

מרחב אולטרה-מטרי [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] הוא [[מרחב מטרי שלם|שלם]] ו[[מרחב ספרבילי|ספרבילי]]. כל חלוקה של מרחב כזה לקבוצות פתוחות-וסגורות מוכרחה להיות סופית. מרחב אולטרה-מטרי [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]] הוא איחוד של כדורים קומפקטיים. מרחב אולטרה-מטרי הוא ספרבילי אם ורק אם קבוצת הכדורים שלו [[קבוצה בת-מניה|בת מניה]].

== דוגמאות ==

* [[שדה המספרים ה-p-אדיים]] הוא אולטרה-מטרי. 
* בגרף לא מכוון עם משקלות חיוביים, משקל המסלול המיני-מקס (המסלול בעל משקל קשת מקסימלי הקטן ביותר) מגדיר אולטרה-מטריקה. 

=== שלמות ספירית ===

מרחב מטרי הוא [[מרחב מטרי שלם|שלם]] אם החיתוך של סדרה מקוננת של כדורים שרדיוסם שואף לאפס אינו ריק. מרחב מטרי נקרא '''שלם-ספירית''' אם החיתוך של כל סדרה מקוננת של כדורים אינו ריק. כל מרחב שלם-ספירית הוא שלם. ההפך נכון אם 0 היא נקודת ההצטברות היחידה של ערכי המטריקה. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם-ספירית. 

אחת התכונות החשובות ביותר של מרחבים מטריים שלמים היא [[משפט הכיווצים של בנך]]: לכל '''פונקציה דוחסת''' (כזו המקיימת <math>\ d(f(x),f(y))< c\cdot d(x,y)</math> לכל <math>\ x\neq y</math>, כאשר <math> c<1</math>) יש [[נקודת שבת]] יחידה. בדומה לזה, במרחב שלם-ספירית, אפילו לכל '''פונקציה מכווצת''' (כזו המקיימת <math>\ d(f(x),f(y))< d(x,y)</math> לכל <math>\ x\neq y</math>) יש נקודת שבת יחידה.

== לקריאה נוספת ==
* ''Summary on non-Archimedean valued fields'', Angel Barria Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018). [http://www2.physics.umanitoba.ca/u/khodr/Publications/2018-Barria-Shamseddine.pdf].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:טופולוגיה]]