הצגת המקור של הדף "מרחב אורכים"

בטופולוגיה, [[מרחב מטרי]] נקרא '''מרחב אורכים''' אם אפשר לקרב בו את המרחקים על ידי מסילות. מרחב אורכים נקרא גם '''מרחב מטרי פנימי''' (intrinsic). 

מרחב אורכים שבו כל מרחק מתקבל על ידי מסילה נקרא [[מרחב גאודזי]], או '''מרחב מטרי פנימי בחזקה''' (strongly intrinsic).

== אפיון פנימי ==

מרחב מטרי (X,d) הוא מרחב אורכים [[אם ורק אם]] לכל a,b ולכל <math>\epsilon>0</math> יש מסילה מ-a ל-b שארכה קטן מ-<math>d(a,b)+\epsilon</math>. 

נקודה x המקיימת <math>|d(a,x)-d(x,b)|\leq \epsilon</math> נקראת '''נקודת <math>\epsilon</math>-אמצע''' של a,b; ו'''נקודת-אמצע''' אם <math>d(a,x)=d(x,b)</math>. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת אמצע לכל a,b, הוא גאודזי. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת <math>\epsilon</math>-אמצע לכל <math>\epsilon>0</math> ולכל a,b הוא מרחב אורכים.

'''משפט Hopf-Rinow''' קובע כי מרחב אורכים [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] הוא [[מרחב קומפקטי בחסימות|קומפקטי בחסימות]] (כלומר, כל [[קבוצה סגורה]] וחסומה היא קומפקטית). מרחב אורכים קומפקטי מקומית וקומפקטי בחסימות הוא מרחב גאודזי.

==מרחב האורכים של מרחב מטרי==
בכל מרחב מטרי [[מרחב קשיר מסילתית|קשיר מסילתית]] אפשר להגדיר מטריקת אורכים, בתור האינפימום של אורכי כל המסילות בין הנקודות. המרחב המתקבל הוא מרחב אורכים, שהמרחקים שלו חסומים מלמטה על ידי המטריקה המקורית. בניה זו היא אידמפוטנטית: מטריקת האורכים של מטריקת אורכים שווה לעצמה. 

== ראו גם==
* [[מרחב גאודזי]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* A Course in Metric Geometry, Burago, Burago and Ivanov, 2001.
</div>
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]