הצגת המקור של הדף "מרחב אי-פריק"

{{סימון מתמטי}}
'''מרחב אי-פריק''' X הוא [[מרחב טופולוגי]] לא [[הקבוצה הריקה|ריק]] (<math>X \ne \emptyset</math>) שלא ניתן להציגו כאיחוד של שתי תת-קבוצות [[קבוצה סגורה|סגורות]] החלקיות ממש ל-X. מושג האי-פריקות שימושי במיוחד ב[[גאומטריה אלגברית]], בה נחקרות [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]] עם [[טופולוגיית זריצקי]].

== הגדרה ==

יהי <math>X \ne \emptyset</math> [[מרחב טופולוגי]]. נאמר ש-X הוא '''אי-פריק''' (Irreducible) אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות (שהן שקולות):
# X איננו איחוד של שתי תת-קבוצות [[קבוצה סגורה|סגורות]] השונות ממש מ-X.
# כל שתי תת-קבוצות [[קבוצה פתוחה|פתוחות]] לא ריקות נחתכות לקבוצה לא ריקה.
# כל תת-קבוצה פתוחה של X שאינה ריקה היא [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב-X.
אם אחת מהתכונות מתקיימת, כולן מתקיימות. תכונה 1 שקולה לתכונה 2 על ידי לקיחת [[משלים (מתמטיקה)|משלים של קבוצות]] ביחס ל-X. תכונה 3 היא בעצם ניסוח אחר של תכונה 2.

תת-קבוצה <math>M \subset X</math> תיקרא אי-פריקה אם היא אי-פריקה ב[[טופולוגיה מושרית|טופולוגיה המושרית]] כתת-מרחב של X.

== תכונות ==
* אם M היא קבוצה אי-פריקה אזי M היא [[קבוצה קשירה]].
*<math>M \subset X</math> היא אי-פריקה אם"ם <math>\overline{M} \subset X</math> היא אי-פריקה.

== מרכיב אי-פריק ==

תת-קבוצה אי-פריקה מקסימלית ב-X נקראת '''מרכיב אי-פריק''' (או '''רכיב אי-פריק'''). מההגדרה והתכונה שהוזכרה לעיל נובע שמרכיב אי-פריק הוא [[קבוצה סגורה]] (אחרת <math>M \subset \overline{M}</math> ו-M לא מקסימלית).

אם X הוא [[מרחב נתר]] אזי ל-X יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים <math>X_1, ..., X_n</math> והם מקיימים <math>X = X_1 \cup ... \cup X_n</math>. בנוסף, כל תת-קבוצה אי-פריקה של X מוכלת באחד ממרכיבים אלה.

== שימושים ==

ב[[גאומטריה אלגברית]] קלאסית חוקרים [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]], מדובר בקבוצות מהצורה
: <math> \mathcal{V}(I) = \left\{ x \in k^n | \forall f \in I : f(x)=0 \right\} </math>
כאשר <math>I</math> הוא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] ב-<math>k[x_1, ... , x_n]</math>, [[פולינום|חוג הפולינומים]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]] k. כאן, <math>X = k^n</math> עם [[טופולוגיית זריצקי]]. בטופולוגיה זו, כל הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> מוגדרות להיות [[קבוצה סגורה|הקבוצות הסגורות]], ואלה נקראות גם "קבוצות אלגבריות". קבוצה אלגברית <math>\mathcal{V}(I)</math> היא אי-פריקה אם ורק אם ה[[רדיקל של אידיאל|רדיקל]] של האידיאל <math>I</math> (כלומר <math>\sqrt{I} = \left\{ f \in k[x_1,...,x_n] \ | \exist n \ge 1 : f^n \in I \right\}</math>) הוא [[אידיאל ראשוני]].

== דוגמאות ==
* יהי k [[שדה סגור אלגברית]]. אזי k אי-פריק ב[[טופולוגיית זריצקי]], ובפרט [[מרחב קשיר|קשיר]].
* באופן כללי יותר, גם <math>k^n \cong \mathrm{Max}(k[X_1,...,X_n])</math> הוא אי-פריק בטופולוגיית זריצקי.

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים|אי-פריק]]
[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]