הצגת המקור של הדף "מרחב בנך"

ב[[מתמטיקה]], '''מרחב בנך''' (ב[[אנגלית]]: Banach space) הוא [[מרחב וקטורי]] [[מרחב נורמי|נורמי]] שהוא [[מרחב שלם|שלם]] ב[[מטריקה]] [[השראה (אנליזה)|המושרית]] מן ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]]. מרחב בנך הוא אחד המרחבים הנפוצים שנחקרים במסגרת ה[[אנליזה פונקציונלית]].

מרחב בנך נקרא על שם [[סטפן בנך]], [[מתמטיקאי]] [[פולין|פולני]] שהיה מבין מייסדי התחום וממנסחי משפטיו היסודיים.

== תכונות ==

[[כדור יחידה|כדור היחידה]] <math>\ \{x: ||x||<1\}</math> במרחב נורמי הוא תמיד [[קבוצה קמורה|קמור]], [[קבוצה פתוחה|פתוח]] ו[[סימטריה|סימטרי]] לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול ל[[אי-שוויון המשולש]] שהנורמה צריכה לקיים.

[[משפט האן-בנך]] מאפשר להרחיב פונקציונלים מתת-מרחב אל המרחב כולו, וכך מאפשר לבנות פונקציונלים רציפים רבים.

[[משפט בנך-שטיינהאוס]] (הנקרא גם עקרון החסימות במידה שווה) טוען שאם למשפחה של [[אופרטור|אופרטורים]] [[אלגברה ליניארית|ליניאריים]] [[רציפות|רציפים]] על מרחב בנך יש חסם משותף  בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על ה[[נורמה של אופרטור|נורמה]] שלהם.

לפי [[משפט ההעתקה הפתוחה]] (או בניסוח שקול [[משפט הגרף הסגור]]), כל [[אופרטור ליניארי חסום]] ממרחב בנך אחד על מרחב בנך אחר, הוא פתוח.

לפי [[משפט מזור-אולם]], המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הליניארי שלו: אם <math> \ f:X\to Y </math> היא [[איזומטריה]] בין מרחבי בנך וגם על, אז <math> \ f </math> היא ליניארית.

==דוגמאות==

*[[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] הוא מרחב בנך. באופן כללי יותר, כל [[מרחב הילברט]] הוא מרחב בנך.

=== מרחבי סדרות ===
*אוסף הסדרות של מספרים ממשיים <math> \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> שמקיימות <math> \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|<\infty  </math> הוא מרחב בנך עם הנורמה <math> \| (a_n)\|_1 =\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n| </math>. מרחב זה מסומן ב <math> \ \ell _1 </math>.

*כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם <math> \ 1\leq p < \infty </math>, מגדירים את המרחב <math> \ \ell _p </math> להיות אוסף הסדרות <math> \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> שמקיימות <math> \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p < \infty </math>. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה <math> \| (a_n)\|_p=\left(\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p\right)^{1/p}  </math>. אם <math> \ p =\infty </math> מגדירים את המרחב <math> \ \ell _{\infty} </math> להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה <math> \ \| (a_n)\|_\infty =\sup |a_n| </math> וזהו מרחב נורמי. אם <math> \ p<1 </math>, המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו [[מרחב פרשה]]) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה.

=== מרחבי פונקציות ===
*אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם <math> \ (X,\mu ) </math> הוא [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] מגדירים את <math> \ L_p (X,\mu ) </math> להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות <math> \ f:X\to \mathbb{C} </math> המקיימות <math> \ \int _{X} |f(x)|^{p} d\mu (x) < \infty </math> תחת [[יחס שקילות|יחס השקילות]] של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה
<math> \ \| f\|_p=\left(\int _X |f(x)|^p d\mu (x)\right)^{1/p}</math>

* [[מרחב הפונקציות החסומות]] ממשיך את הדוגמה הקודמת למקרה <math>\ p = \infty</math>. אם X [[מרחב מטרי]], <math>\ L^{\infty}(X)</math> הוא המרחב של ה[[פונקציה חסומה|פונקציות החסומות]] <math>\ X \rightarrow \mathbb{C}</math> (לפעמים מדובר ב[[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] דווקא). זהו [[מרחב נורמי]], עם נורמת הסופרימום של הפונקציות. '''שיכון קורטובסקי''' (<math>\ x \mapsto (y \mapsto d(x,y)-d(x_0,y))</math> כאשר <math>\,x_0</math> נקודה קבועה) מראה שכל מרחב מטרי משוכן במרחב הפונקציות החסומות המתאים לו.

* [[מרחב הפונקציות הרציפות]] <math>\ C(X)</math> מ[[מרחב מטרי]] X אל המספרים המרוכבים (או הממשיים).

== טיפוסים של מרחבי בנך==

[[מרחב הילברט|מרחבי הילברט]] הם דוגמה קיצונית של מרחבי בנך, ותכונות שונות של מרחבי בנך מודדות עד כמה הם קרובים להיות מרחבי הילברט.

מרחב ה[[פונקציונל|פונקציונלים]] הליניארים על מרחב בנך <math> \ X </math> גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה <math> \ \| \varphi \| = \sup _{x\in X,\| x\| =1} \varphi (x) </math>
מרחב זה מסומן לרוב ב <math> \ X^* </math>. לדוגמה, אם <math> \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 </math> וגם <math> \ p<\infty </math> אז <math> \ell _p ^* =\ell _q </math>. לעומת זאת, <math> \ell _{\infty} ^* \neq \ell _1 </math>. מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים <math>\, X^{**} = X </math>. לעומת זאת, יש שיכון טבעי <math>\,X \hookrightarrow X^{**} </math>. מרחב בנך שעבורו השיכון <math>\,X \hookrightarrow X^{**} </math> הוא [[איזומורפיזם]] נקרא '''מרחב רפלקסיבי'''. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי.

מרחב בנך שלכל תת-מרחב ספרבילי שלו, A, גם <math>\ A^*</math> הוא ספרבילי, נקרא '''מרחב Asplund'''; כל מרחב רפלקסיבי הוא Asplund.

מרחב בנך שאינו מכיל עותק איזומורפי של <math>\ \ell_1</math> נקרא '''מרחב Rosenthal'''. כל מרחב Asplund הוא Rosenthal.

כל מרחב בנך רפלקסיבי הוא '''נוצר קומפקטית-חלש''' (weakly compactly generated), כלומר, יש בו [[קבוצה קומפקטית]] (בטופולוגיה החלשה), הפורשת מרחב צפוף. כל מרחב כזה הוא '''Weakly Lindelof determined''' (יש בו קבוצה M הפורשת מרחב צפוף, כך שהחיתוך שלה עם התומך של כל פונקציונל ליניארי הוא בן-מניה). מרחב מסוג זה, שהוא Asplund, הוא ספרבילי.

== ראו גם ==
* [[נורמה (אנליזה)]]
* [[מרחב מטרי]]
* [[מרחב מטרי שלם]]
* [[מרחב הילברט]]
* [[אופרטור]]
* [[פונקציונל]]
* [[משפט האן-בנך]]
* [[משפט בנך-שטיינהאוס]]
* [[טופולוגיה]]
* [[אנליזה מתמטית]]
* [[אנליזה פונקציונלית]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Banach_space}}
* {{MathWorld}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007282589705171|מרחבי בנך}}

{{עץ מיון של מרחבים וקטוריים טופולוגיים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:מרחבים נורמיים]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]