הצגת המקור של הדף "מרחב גאודזי"

[[קובץ:RechtwKugeldreieck.svg|שמאל|ממוזער|250px|משולש גאודזי על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית: המסילות הגאודזיות על הספירה הן [[קשת (גאומטריה)|קשת]]ות של "מעגלים גדולים", היינו [[מעגל]]ים שמרכזיהם מתלכדים עם מרכזה של הספירה.]]
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב גאודזי''' הוא [[מרחב מטרי]] <math>X</math> (עם [[מטריקה]] <math>d</math>), שבו כל המרחקים נמדדים על ידי מסילות מתאימות. הדרישה המקובלת היא שלכל שתי נקודות <math>x,y</math> במרחב תהיה [[איזומטריה]] מן הקטע <math>\ [0,d(x,y)]</math> ל-<math>X</math>, המעבירה את נקודות הקצה ל-<math>x</math> ול-<math>y</math>. מרחב כזה הוא, כמובן, [[מרחב קשיר מסילתית|קשיר מסילתית]]. המסילה המתקבלת מ-<math>x</math> ל-<math>y</math> נקראת [[מסילה גאודזית]], והיא מתארת את המרחק הקצר ביותר בין הנקודות. כל מרחב גאודזי הוא [[מרחב אורכים]]. מרחב אורכים שלם וקומפקטי מקומית הוא מרחב גאודזי.

בין הדוגמאות החשובות למרחבים גאודזיים - [[יריעת רימן]] [[מרחב שלם|שלמה]] (ובפרט כל [[משטח רימן]]); ו[[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] שבו מקצים על כל קשת מטריקה של קטע ממשי. כל [[מרחב מטרי שלם]] שבו לכל <math>x,y</math> יש נקודה <math>z</math> ביניהן (נקודה <math>z \neq x,y</math> כך ש-<math>d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)</math>), הוא גאודזי.

דוגמה למרחב מטרי שאיננו גאודזי היא <math>\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}</math> (המישור האוקלידי ללא ראשית הצירים) שכן המרחק בין הנקודות <math>(1,0),(-1,0)</math> הוא <math>2</math>, אך אין מסילה באורך <math>2</math> בין נקודות אלו.

קיימות להגדרה גם וריאציות חזקות יותר, שבהן דורשים קיומה של איזומטריה מ[[הישר הממשי]], העוברת בכל זוג נקודות נתון. במרחבים כאלו אפשר להמשיך את הקטעים הגאודזים עד לאינסוף, לשני הכיוונים, ברוח ה[[גאומטריה אוקלידית#אקסיומות|אקסיומה השנייה]] של [[אוקלידס]]. במרחב גאודזי ממלאות המסילות הגאודזיות תפקיד דומה לזה של הקווים הישרים ב[[מרחב אוקלידי]], ואכן, המרחב האוקלידי (ביחס למטריקה הנורמית) הוא מרחב גאודזי, שבו הגאודזים הם הקווים הישרים.

== ראו גם ==
* [[מרחב אורכים]]

== מקורות ==
* Herbert Busemann, "The geometry of Geodesics", 1955 (Dover edition: 2005).

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]