הצגת המקור של הדף "מרחב חסום לחלוטין"

ב[[טופולוגיה]], [[מרחב מטרי]] שניתן לכסות במספר סופי של [[כדור (טופולוגיה)|כדורים]] בכל גודל נתון נקרא '''מרחב חסום לחלוטין''' (totally bounded), או '''מרחב חסום כליל'''. כל מרחב חסום לחלוטין הוא כמובן [[מרחב חסום|חסום]]. ההפך נכון למשל עבור תת-קבוצות של [[המרחב האוקלידי]] <math>\ \mathbb{R}^n</math>, אבל באופן כללי ישנם מרחבים מטריים חסומים שאינם חסומים לחלוטין. כזהו למשל הוא המרחב המטרי על קבוצת המספרים הממשיים <math>\mathbb{R} </math> עם [[המטריקה הדיסקרטית]], אשר בה המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא 1. מרחב זה הוא בוודאי חסום, מפני שכל הנקודות במרחב (המספרים הממשיים) מוכלים בכדור פתוח ברדיוס אחד וחצי סביב המספר 0 (או סביב כל [[מספר ממשי]] אחר). אבל המרחב אינו חסום כליל, וזאת מפני שאם נבחר את [[רדיוס]] הכדורים בתור חצי, אז הדרך היחידה לכסות את המרחב היא לקחת את כל הנקודות במרחב, משום שכדור ברדיוס חצי סביב הנקודה, מכיל רק את הנקודה עצמה.

בצורה פורמלית, נגדיר <math>\epsilon</math>-רשת כקבוצה של נקודות כך שכל נקודה במרחב נמצאת במרחק קטן מ-<math>\epsilon</math> מאחת מנקודות הקבוצה. מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם לכל <math>\epsilon</math> קיימת במרחב <math>\epsilon</math>-רשת '''סופית'''. אפיון אחר: מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם ורק אם לכל סדרה אין סופית של איברים  במרחב יש תת-סדרה שהיא [[סדרת קושי]].

כל מרחב מטרי חסום לחלוטין הוא [[אקסיומות המנייה|מרחב מנייה שנייה]]{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://proofwiki.org/wiki/Totally_Bounded_Metric_Space_is_Second-Countable|כותרת=Totally Bounded Metric Space is Second-Countable - ProofWiki|אתר=proofwiki.org|תאריך_וידוא=2021-07-14}}}}. מרחב מטרי הוא [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] אם ורק אם הוא [[מרחב מטרי שלם|שלם]] וחסום לחלוטין.
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:קומפקטיות]]