הצגת המקור של הדף "מרחב מחויג"

ב[[מתמטיקה]], '''מרחב מחויג''' (Ringed Space) הוא, מבחינה אינטואיטיבית, [[מרחב טופולוגי|מרחב]] ביחד עם אוסף של [[חוג קומוטטיבי|חוגים]] [[קומוטטיביות|קומוטטיבים]], אשר איבריהם מהווים "פונקציות" על ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] של המרחב. מרחבים מחויגים מופיעים רבות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]], וב[[גאומטריה אלגברית]], שם הם משמשים להגדרה של [[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]].

==הגדרה פורמלית==
'''מרחב מחויג''' הוא [[מרחב טופולוגי]] ''X'' ביחד עם [[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים קומוטטיביים <math>\mathcal{O}_X</math> על ''X''. האלומה <math>\mathcal{O}_X</math> נקראת '''אלומת המבנה''' של ''X''.

'''מרחב מחויג מקומית''' (locally ringed space)  הוא מרחב מחויג <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> כך שלכל <math>x \in X</math>, [[אלומה (מתמטיקה)#נבט של אלומה|הנבט]] <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> הוא [[חוג מקומי]].
במילים אחרות, החוג <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> מכיל [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל מקסימלי]] יחיד.

==דוגמאות==
* יהי ''X'' מרחב טופולוגי, ותהי <math>\mathcal{O}_X</math> אלומת ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]] ה[[רציפות (טופולוגיה)|רציפות]] על ''X''. במילים אחרות, לכל קבוצה פתוחה <math>U \subseteq X</math>, החוג <math>\mathcal{O}_X(U)</math> מכיל את כל הפונקציות הרציפות <math>f:U \rightarrow \mathbb{R}</math>. נשים לב שאם <math>f \in \mathcal{O}_{X,x}</math> היא פונקציה רציפה המקיימת <math>\,f(x) \ne 0</math>, אז יש [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של ''x'' בה ''f'' אינה מתאפסת, ולפיכך ''f'' הפיכה בחוג <math>\mathcal{O}_{X,x}</math>. מכיוון שהקבוצה <math>\{f \in \mathcal{O}_{X,x}:f(x) =0 \}</math> מהווה אידיאל של חוג זה, הרי שזהו אידיאל מקסימלי יחיד, ולפיכך <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> הוא חוג מקומי. לפיכך <math>(X,\mathcal{O}_{X})</math> הוא מרחב מחויג מקומית.
* באופן דומה, אם ''X'' [[יריעה חלקה]], ו<math>\mathcal{O}_X</math> היא האלומה המתאימה לכל קבוצה פתוחה <math>U \subseteq X</math> את חוג ה[[פונקציה חלקה|פונקציות החלקות]] על ''U'', אז <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> הוא מרחב מחויג, כאשר טיעון דומה יראה שכמו בדוגמה הקודמת, זהו למעשה מרחב מחויג מקומית.

==מורפיזמים==
בהינתן שני מרחבים מחויגים <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> ו-<math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math>, מורפיזם של מרחבים מחויגים נתון על ידי המידע הבא:
* פונקציה רציפה <math>\,f:X \rightarrow Y</math>
* בהינתן קבוצה פתוחה <math>V \subseteq Y</math>, [[הומומורפיזם]] של חוגים <math>\phi_Y:\mathcal{O}_Y(V) \rightarrow \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))</math>, כך שהומומורפיזמים אלו מתחלפים עם פונקציות הצמצום. במילים אחרות, אם <math>V_1 \subseteq V_2 \subseteq Y</math> הן קבוצות פתוחות, אז הדיאגרמה הבאה (הפונקציות האנכיות הן הומומורפיזמי הצמצום של האלומות) קומוטטיבית:
[[תמונה:LocallyRingedSpace-01.png|מרכז]]

על מנת שמורפיזם של מרחבים מחויגים יהיה מורפיזם של מרחבים מחויגים מקומית, נדרוש בנוסף שההומורפיזם <math>\phi_f(x):\mathcal{O}_{Y,f(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}</math> המושרה על הנבטים על ידי <math>\phi</math> יהיה [[הומומורפיזם מקומי]], כלומר שהאידיאל המקסימלי (היחיד) של החוג <math>\mathcal{O}_{Y,f(x)}</math> יועתק לאידיאל המקסימלי (היחיד) של <math>\mathcal{O}_{X,x}</math>.

==המרחב המשיק==
מרחבים מחויגים מקומית מכילים מספיק מבנה על מנת שניתן יהיה להגדיר את [[המרחב המשיק]] בכל נקודה במרחב. נניח כי <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> הוא מרחב מחויג מקומית, ותהי <math>x \in X</math>. נרצה להגדיר את המרחב המשיק <math>T_x</math> בנקודה ''x''. יהי <math>R_x</math> הנבט של אלומת המבנה של ''X'', ויהי <math>m_x</math> האידיאל המקסימלי (היחיד) בחוג זה. אז חוג המנה <math>k_x = R_x / {m_x}</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], וחוג המנה <math>m_x / {m_x}^2</math> הוא [[מרחב וקטורי]] מעל <math>k_x</math>. ה[[מרחב דואלי|מרחב הדואלי]] <math>(m_x / {m_x}^2)^*</math> יקרא המרחב המשיק בנקודה ''x''.

רעיון הבניה הוא שאיברי המרחב המשיק אמורים להכיל מידע לגבי האופן בו "גוזרים" פונקציות המוגדרת בנקודה ''x'', כלומר איברים של <math>R_x</math>. לשם כך מספיק לדעת כיצד גוזרים פונקציות שערכן ב ''x'' הוא אפס (משום שכל פונקציה אחרת שונה מפונקציה כזאת בקבוע, והנגזרת של פונקציה קבועה היא אפס). לפיכך, נתבונן באיברי <math>m_x</math> (שברוב המקרים הצצים ב[[גאומטריה]] הם בדיוק אוסף של פונקציות המתאפסת ב ''x''). מ[[כלל לייבניץ]] (נגזרת של מכפלה) ידוע כי הנגזרת של מכפלה של שתי פונקציות המתאפסות ב''x'' שווה ל-0, ולפיכך מחלקים את האידיאל <math>m_x</math> בריבועו <math>{m_x}^2</math>. לבסוף, מכיוון שנגזרת היא [[פונקציונל]] ליניארי, הרי שנעבור למרחב הדואלי, ובכך נקבל את "מרחב כל הגזירות" של פונקציות בנקודה ''x'', הוא המרחב המשיק בנקודה ''x''.

== ראו גם ==

* [[גאומטריה אלגברית]]
* [[סכמה (מתמטיקה)]]
* [[סכמה אפינית]] ו[[ספקטרום של חוג]]

==לקריאה נוספת==
* Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-90244-9}}.  

[[קטגוריה:תורת האלומות]]