הצגת המקור של הדף "מרחב מכפלה פנימית"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''מרחב מכפלה פנימית''' הוא [[מרחב וקטורי]], עבורו מוגדרת [[פעולה בינארית]] בין כל שני איברים במרחב, המקיימת תכונות מסוימות ומכונה '''מכפלה פנימית'''.

'''מכפלה פנימית''' היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הנתון. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של [[אורך]] ו[[זווית]]. האורך והזווית המוכללים אינם בהכרח בעלי משמעות גאומטרית. העקרונות שמגדירים את פעולת המכפלה הפנימית, נלמדים ומוכללים ממושג ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] שמוגדרת מעל ה[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת-ממדי]] שאינטואיטיבי לחשיבה האנושית.

מרחב וקטורי <math>V</math> מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, עם מכפלה פנימית ייקרא '''מרחב מכפלה פנימית'''. עבור מרחבים [[ממד (אלגברה ליניארית)|מממד]] סופי, כאשר <math>\mathbb{F} = \reals</math> המרחב <math>V</math> נקרא '''[[מרחב אוקלידי]]''', וכאשר <math>\mathbb{F}=\Complex</math> הוא נקרא '''[[מרחב אוניטרי]]'''.

==הגדרה פורמלית==
יהי <math>\, V</math> מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, כאשר <math>\mathbb{F}</math> הוא [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\reals</math> או [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\Complex</math>. פונקציה <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} </math> תיקרא '''מכפלה פנימית''' על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
* '''אדיטיביות''' ברכיב הראשון:
*:<math>\forall a,b,c\isin V:\langle a+b,c\rangle= \langle a,c\rangle + \langle b,c\rangle</math>
* '''הומוגניות''' ברכיב הראשון:
*:<math>\forall a,b\isin V,\lambda\isin \mathbb{F}:\langle \lambda a,b\rangle= \lambda \langle a,b\rangle </math>
* '''[[הרמיטיות]]''' (מעל הממשיים – '''סימטריות'''):
*:<math>\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}</math>
* '''חיוביות לחלוטין''' (אי-שליליות וממשיות):
*:<math> \forall x \in V, \ \langle x,x\rangle\ge 0 </math> והשוויון מתקבל [[אם ורק אם]] <math>\ x=0</math>

===השלכות מההגדרה===
* תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי [[יחס סדר]]. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
*:<math>\langle x,x\rangle =\overline{\langle x,x\rangle}</math> פירושו כי <math>\langle x,x\rangle</math> הוא מספר ממשי (משום שהצמוד למספר ממשי הוא המספר עצמו).
* באמצעות ההרמיטיות ניתן להכליל את האדיטיביות גם עבור הרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי [[צמוד מרוכב]] – כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
:<math>\langle x,\lambda y\rangle =\overline{\lambda}\langle x,y\rangle</math>
* מההומוגניות נובע כי תמיד מתקיים: <math>\langle 0,x\rangle = \langle 0 \cdot x,x\rangle = 0 \cdot \langle x,x\rangle = 0</math>

==שימושים==
בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להכליל את המושגים [[אורך]], מרחק בין שני וקטורים, זווית בין שני וקטורים ו[[אנך|ניצב]]ות, המוכרים מה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]]:
; [[נורמה (אנליזה)|נורמה]] (הכללת האורך)
<math>\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>{{ש}}בזכות תכונת האי-שליליות (חיוביות לחלוטין) גודל זה הוא תמיד אי-שלילי.
;[[מטריקה]] (הכללת המרחק)
<math>d(x,y) = \sqrt{ \langle x - y, x - y \rangle }</math>
;זווית בין שני וקטורים
ניתן להגדיר [[זווית]] בין וקטורים בצורה הבאה: <math>\operatorname{\theta}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}</math>. ניתן להראות שה[[קוסינוס#הפונקציה ההפוכה|ארכקוסינוס]] תמיד מוגדר בעזרת [[אי-שוויון קושי-שוורץ]].
;[[אורתוגונליות]] (הכללת הניצבות)
שני וקטורים <math>x</math> ו-<math>y</math> הם [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] [[אם ורק אם]] המכפלה הפנימית שלהם שווה <math>0</math>, כלומר <math>\langle x,y\rangle = 0</math> ומסמנים <math>\,x\perp y</math>.

[[מרחב הילברט]] הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא גם [[מרחב שלם|מרחב מטרי שלם]] ביחס ל[[מטריקה]] לעיל המושרית מהמכפלה הפנימית.

==דוגמאות למכפלות פנימיות==
* ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] הסטנדרטית ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^3</math> שנתונה על ידי <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos \theta</math> (כאשר <math>\theta</math> היא ה[[זווית]] בין ה[[וקטור (פיזיקה)|ווקטורים]]) היא מכפלה פנימית.
* יהי <math> V = \{ \vec{x} = ( x_1, \cdots, x_n )|x_i\in\mathbb{F} \}=\mathbb{F}^n</math> מרחב וקטורי.
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{R}</math> אזי ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n </math> היא מכפלה פנימית.
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{C}</math> אזי ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = x_1 \overline{y_1} + \cdots + x_n \overline{y_n} </math> היא מכפלה פנימית.
* עבור שתי [[מטריצה|מטריצות]] מאותו סדר <math>A</math> ו-<math>B</math> (מעל <math>\mathbb{R}</math>), הגודל <math>\mathrm{tr}(AB^t)</math> (כלומר ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של ה[[כפל מטריצות|מכפלת]] האחת ב[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] השנייה) הוא מכפלה פנימית. ניתן לכתוב מכפלה פנימית זו גם כך: <math>\sum_{i,j}{A_{ij}} B_{ij}</math>.
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math>. אם נחליף את <math>I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית. כל מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ניתנת להצגה בצורה זו עבור מטריצה A כלשהי.
* במרחב כל ה[[אינטגרל|פונקציות האינטגרביליות]] בריבוע ב[[אינטגרל לבג|מובן לבג]] בתחום <math>\,I</math>, שמסומן <math>\ L^2(I)</math>, המכפלה הפנימית היא <math> \lang f, g \rang = \int_I{ f(x) \ \overline{g(x)} \ dx } </math>. מכפלה זו הופכת את המרחב ל[[מרחב הילברט]], לפי משפט ריז-פישר.
* ב[[פיזיקה קוונטית]], משתמשים ב[[סימון דיראק]] (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת [[מצב קוונטי]] מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה ב[[מתמטיקה]]): <math>\lang a \phi | b \psi \rang = a^* b \lang \phi | \psi \rang</math>. כאשר הכוכבית מסמנת [[צמוד מרוכב]].

== ראו גם ==
* [[נורמה (אנליזה)|נורמה]]

== קישורים חיצוניים ==
* {{יוטיוב|p9GLbf0_MYM|שם=מכפלה פנימית במרחב וקטורי: הבסיס המודרני למושגים כמו אורך וזווית. פרופ' רון עדין}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{אלגברה ליניארית}}
{{עץ מיון של מרחבים וקטוריים טופולוגיים}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:מרחבים נורמיים]]