הצגת המקור של הדף "מרחב מנה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מרחב טופולוגי|אחר=מרחב מנה באלגברה ליניארית|ראו=מרחב מנה (אלגברה ליניארית)}}
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב מנה''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שנוצר על ידי "צמצום" של מרחב טופולוגי על ידי [[פונקציה]], [[יחס שקילות]] או [[פעולת חבורה]]. הטופולוגיה של מרחב המנה עבור פונקציה, יחס שקילות או חבורה פועלת נתונים, נקראת '''טופולוגיית המנה'''.

==הגדרות==
===הגדרה על ידי פונקציה===

בהינתן [[מרחב טופולוגי]] <math>\left(X,\tau_X \right)</math> וקבוצה <math>Y</math> (שעליה אין בהכרח טופולוגיה), עם פונקציה <math>\ f: X \rightarrow Y</math> שהיא [[פונקציה על|על]], נגדיר טופולוגיה על <math>Y</math> על ידי <math>\ \tau_Y= \left\{ U \sub Y : f^{-1} (U) \in \tau_X \right\}</math>. טופולוגיה זו נקראת '''טופולוגיית המנה''', ופונקציה כזו נקראת '''פונקציית מנה'''. בדרך זו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני: טופולוגיית המנה על Y היא הטופולוגיה העשירה ביותר שבעבורה f רציפה. כלומר, אם <math>X,Y</math> שניהם מרחבים טופולוגיים ו-<math>f:X \to Y</math> רציפה, אז הטופולוגיה הנתונה של <math>Y</math> עשויה להיות דלה יותר מטופולוגיית המנה.

כאשר <math>X</math> [[קומפקטיות|מרחב קומפקטי]] ו-<math>Y</math> [[מרחב האוסדורף]], ו-<math>f</math> פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגיית המנה עבור <math>f</math>.

===הגדרה על ידי יחס שקילות===

דרך נוספת להגדרת טופולוגיית המנה היא על ידי [[יחס שקילות]]. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות <math>R</math>, מרחב המנה הוא קבוצת מחלקות השקילות ביחס <math>R</math>, אותה נסמן <math>X/R</math>, כאשר הטופולוגיה עליה מתקבלת כמו בהגדרה לעיל על ידי פונקציה, עבור פונקציית ההטלה למחלקות השקילות. כלומר, <math>\tau_{X/R} = \left\{U \subset X/R \mid p^{-1}\left(U\right) \in \tau_X\right\}</math>, כאשר <math>p: X \to X/R</math> היא הפונקציה <math>p\left(x\right) = \left[x\right] = \left\{y \in X \mid xRy\right\}</math>.

==דוגמאות==

[[קובץ:Disk to Sphere using Quotient Space.gif|ממוזער|עיגול במישור הופך לספירה (במרחב התלת-ממדי) על ידי כיווץ השפה שלו (המעגל) לנקודה אחת.]]
* ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית <math>S^2 \subset \mathbb{R}^3</math> ניתנת להצגה כמרחב מנה של [[כדור (גאומטריה)|כדור]] היחידה ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] <math>D^1</math>, על ידי [[יחס שקילות|יחס השקילות]] המזהה את כל שפתו של <math>D^1</math> עם נקודה יחידה (למשל הקוטב הצפוני). בנייה זו מדגימה כיצד פעולת מנה אינה משמרת תכונות גאומטריות; בעוד שהעיגול ניתן לשיכון במישור, לאחר פעולת המנה מתקבלת ספירה דו-ממדית אותה כבר ניתן לשכן רק במרחב התלת-ממדי.
* ה[[מרחב פרויקטיבי|מרחב הפרויקטיבי]] <math>\mathbb{FP}^n</math> הוא מרחב מנה של <math>\mathbb{F}^n</math> המתקבל על ידי יחס השקילות <math>\vec x \sim \lambda \vec x</math> לכל <math>\vec x \in \mathbb{F}^n</math> ולכל סקלר <math>\lambda \neq 0</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טופולוגיות|מנה]]
[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים]]