הצגת המקור של הדף "מרחב נוצר קומפקטית"

ב[[טופולוגיה]], '''מרחב נוצר קומפקטית''' (Compactly generated space) הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו תת-המרחבים הקומפקטיים קובעים את הטופולוגיה, באופן הבא: קבוצה היא [[קבוצה סגורה|סגורה]] אם ורק אם החיתוך שלה עם כל [[קבוצה קומפקטית]] הוא סגור. בדרך כלל מניחים גם כי המרחב הוא [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]]. [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריית]] המרחבים האוסדורף הנוצרים קומפקטית מסומנת על ידי <math>CG</math>. זוהי קטגוריה דיי גדולה ודיי נוחה; ב[[תורת ההומוטופיה]] לעיתים מניחים כי המרחבים הם מקטגוריה זו.

==תכונות==
כל מרחב המקיים את [[אקסיומות מנייה|אקסיומת המנייה הראשונה]] וכל [[מרחב קומפקטי מקומית]] (ובפרט [[מרחב קומפקטי]] וגם [[מרחבי CW]]) הם מרחבים נוצרים קומפקטית. לכן, הקטגוריה <math>CG</math> דיי רחבה, ומכילה אובייקטים מעניינים מתחומים שונים, כמו מ[[טופולוגיה אלגברית]] ובפרט מ[[תורת ההומוטופיה]].

יש סגירות לתתי מרחבים מסוימים - אם <math>X \in CG</math>, אז גם כל תת-קבוצה סגורה וכל [[תת קבוצה פתוחה רגולרית]] (קבוצה בה לכל נקודה יש סביבה סגורה המוכלת בה). ראו בדוגמאות מקרה בו תת-מרחב כלשהו איננו נשאר בקטגוריה.

כדי שפונקציה ממרחב נוצר קומפקטית (למרחב האוסדורף) תהיה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]], מספיק לדרוש שתהיה רציפה על כל תת-קבוצה קומפקטית.

==פעולות בקטגוריה==
כמו במרחבים רגילים, נרצה להציג פעולות בין מרחבים בקטגוריה זו.

לכל מרחב האוסדורף <math>X</math>, נסמן ב-<math>K(X)</math> את המרחב מעל אותה קבוצה, אך בו קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא חותכת כל קבוצה קומפקטית בתוך קבוצה סגורה כלשהי. זהו [[פונקטור]] בין המרחבים האוסדורף למרחבים <math>CG</math>; הוא מהווה [[פונקטור צמוד|פונקטור ימני צמוד]]<sup>{{אנ|Adjoint functors}}</sup> לפונקטור ההכלה <math>CG \to H</math>
(<math>H</math> - מרחבי האוסודורף).

זהו מרחב נוצר קומפקטית המכיל את המרחב הקודם, או במילים אחרות - פונקציית הזהות <math>id:K(X) \to X</math> רציפה, ואם מלכתחילה <math>X \in CG</math> אז <math>X \cong K(X)</math>.

בעזרת פונקטור זה, מגדירים את המכפלה ומרחב הפונקציות בקטגוריה.

עבור '''המכפלה''', נגדיר <math>X \times Y := K(X \times Y)</math>, כאשר <math>\times_c</math> היא ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] הרגילה עם [[מרחב מכפלה|טופולוגיית המכפלה]]. המכפלה מקיימת  את אותה ה[[תכונה אוניברסילית|תכונה האוניברסלית]] המקיימת המכפלה הרגילה (בקטגוריה הזו). המכפלה לא תמיד מתלכדת עם המכפלה הקטרזית, אך במקרה בו <math>X</math> [[מרחב קומפקטי מקומית]] ו-<math>Y \in CG</math> אז <math>X \times Y \cong X \times _c Y</math>.

נסמן ב-<math>C(X,Y)</math> את מרחב הפונקציות הרציפות <math>X \to Y</math>, ונביט בו עם [[הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה]]. את מרחב הפונקציות הרציפות בקטגוריה נגדיר בתור <math>Y^X :=K(C(X,Y))</math>. פונקציית ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] <math>Z^Y \times Y^X \to Z^X</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]], ובפרט כאשר <math>X</math> [[יחידון]] אז פונקציית ההצבה <math>Z^Y \times Y \to Z</math> רציפה.

==מרחבים לא נוצרים קומפקטית==
* המרחב <math>(\mathbb{R},\tau_{coc})</math>, כלומר ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] עם [[הטופולוגיה הקו-מנייתית]], איננו נוצר קומפקטית, אך גם לא האוסדורף.
* <math>\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> (עם [[מרחב מכפלה|טופולוגיית המכפלה]]) הוא האוסדורף אך איננו נוצר קומפקטית.
* לא כל תת-מרחב של מרחב נוצר קומפקטית נשאר כזה - למשל, <math>[0,1]^\mathbb{R}</math> הוא [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] לפי [[משפט טיכונוף]] (והאוסדורף) ולכן נוצר קומפקטית; תת-המרחב המכיל איברים <math>(r_i)_{i \in \mathbb{R}}</math> כך ש-<math>r_i \not\in \{0,1\}</math> איננו נוצר קומפקטית (אך כן האוסדורף).

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Brayton Gray, Homotopy theory, New York-London, 1975, ''An introduction to algebraic topology'', p. 50-61
</div>

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים|נוצר קומפקטית]]
[[קטגוריה:קומפקטיות|נוצר קומפקטית]]
[[קטגוריה:תורת ההומוטופיה|נוצר קומפקטית]]